Question

15．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=3cm，BC=4cm，点D为BC的中点．动点P从点A出发，沿着A→B方向以1cm/s的速度运动到点B停止运动．点P移动的时间为t秒，当△DBP为等腰三角形，求出t的值．

Answer 1

分析 根据勾股定理求出斜边AB，根据等腰三角形的判定得出符合情况的三种情况：①BP=PD，②BP=BD，③BD=PD，根据等腰三角形的性质得出即可．

解答 解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3cm，BC=4cm，
∴AB=5cm，
由运动可知，AP=t，且△DBP为等腰三角形有三种可能：
①若BP=PD，则∠B=∠PDB，
过P点作PE⊥BD于E，如图1，
∴BE=DE=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{1}{4}$BC=1cm，
∵∠ACB=90°，
∴PE∥AC，
∴△PEB∽△ACB，
∴$\frac{BP}{AB}$=$\frac{EB}{BC}$，即$\frac{5-t}{5}$=$\frac{1}{4}$，
解得t=$\frac{15}{4}$；
②若BP=BD，则5-t=2，
解得t=3；
③若BD=PD，过点D作DH⊥AB，如图2，
则BH=$\frac{1}{2}$PB=$\frac{1}{2}$（5-t），
∵∠DHB=∠C=90°∠DBH=∠ABC，
∴△DBH∽△ABC，
∴$\frac{BH}{BC}$=$\frac{BD}{AB}$，即$\frac{\frac{1}{2}（5-t）}{4}$=$\frac{2}{5}$，
∴t=$\frac{9}{5}$；
综上所述，符合要求的t的值有3个，分别是$\frac{15}{4}$秒或3秒或$\frac{9}{5}$秒．

点评 本题考查了等腰三角形的性质和判定，勾股定理，能求出符合情况的所有情况是解此题的关键，用了分类讨论思想．