Question

【题目】如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM上一点，EF⊥AM，垂足为F，交AD延长线于点E，交DC于点N．

（1）求证：△ABM∽△EFA；

（2）若AB＝12，BM＝6，F为AM的中点，求DN的长；

（3）若AB＝12，DE＝1，BM＝5，求DN的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）DN＝；（3）DN＝．

【解析】

（1）由正方形的性质得出AB＝AD，∠B＝90°，AD∥BC，得出∠AMB＝∠EAF，再由∠B＝∠AFE，即可得出结论；

（2）由勾股定理求出AM，得出AF，由△ABM∽△EFA得出比例式，求出AE，即可得出DN的长；

（3）根据余角的性质得到∠BAM＝∠E，根据相似三角形的性质即可得到结论．

（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝AD，∠B＝90°，AD∥BC，

∴∠AMB＝∠EAF，

又∵EF⊥AM，

∴∠AFE＝90°，

∴∠B＝∠AFE，

∴△ABM∽△EFA；

（2）解：∵∠B＝90°，AB＝12，BM＝6，

∴AM＝＝6，AD＝12，

∵F是AM的中点，

∴AF＝AM＝3，

∵△ABM∽△EFA，

∴＝，

即＝，

∴AE＝15，

∴DE＝AE﹣AD＝3，

∵∠EDN＝∠EFA＝90°，∠E＝∠E，

∴△AEF∽△NED，

∴＝，

∵EF＝＝6，

∴DN＝；

（3）解：∵∠B＝∠AFE＝∠BAD＝90°，

∴∠BAM+∠EAF＝∠EAF+∠E＝90°，

∴∠BAM＝∠E，

∴△ABM∽△EDN，

∴，

即，

∴DN＝．