题目内容
12．
如图，已知抛物线y=-x2+bx+c经过A（0，1）、B（4，3）两点．（1）求抛物线的解析式；
（2）求tan∠ABO的值；
（3）过点B作BC⊥x轴，垂足为C，点M是抛物线上的一个动点，直线MN平行于y轴交直线AB于N，如果M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出M点的横坐标；
（4）已知点E为抛物线上位于第二象限内任一点，且E点横坐标为m，作边长为10的正方形EFGH，使EF∥x轴，点G在点E的右上方，那么，对于大于或等于-1的任意实数m，FG边与过A、B两点的直线都有交点，请说明理由．
分析 （1）把A、B两点坐标代入解析式即可解决．
（2）如图作AM⊥OB垂足为M，利用tan∠ABO=$\frac{AM}{BM}$解决．
（3）根据MN=BC，列出方程即可解决．
（4）如图只要判断Gy＞Ny即可．
解答 解：（1）由题意$\left\{\begin{array}{l}{c=1}\\{-16+4b+c=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{9}{2}}\\{c=1}\end{array}\right.$，所以抛物线解析式为y=-x2+$\frac{9}{2}x$+1．
（2）如图作AM⊥OB垂足为M，∵直线AB的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+1，直线OB的解析式为y=$\frac{3}{4}$x，
∴直线AM为y=-2x+1，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{4}x}\\{y=-2x+1}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{4}{11}}\\{y=\frac{3}{11}}\end{array}\right.$，
∴直线点M坐标（$\frac{4}{11}$，$\frac{3}{11}$）
∴AM=$\frac{4\sqrt{5}}{11}$ BM=$\frac{50}{11}$
∴tan∠ABO=$\frac{AM}{BM}$=$\frac{2\sqrt{5}}{25}$．
（3）设点M坐标为（m，-m2+$\frac{9}{2}$m+1），当MN∥BC，MN=BC时，M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形，
∴|-m2+$\frac{9}{2}$m+1-（$\frac{1}{2}$m+1）|=3，
整理得m2-4m+3=0或m2-4m-3=0，
解得m=1或3或2+$\sqrt{7}$或2-$\sqrt{7}$．
（4）如图设FG与直线AB交于点N，
∵点E的横坐标为m，且点E在第二象限，-1＜m＜0，
又∵正方形EFGH的边长为10，
∴点F的横坐标为a，9＜a＜10，
∵直线AB的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+1，
∴点N的纵坐标$\frac{11}{2}$＜Ny＜6，
∵点G的纵坐标11＜Gy＜10，
∴Gy＞Ny，
∴对于大于或等于-1的任意实数m，FG边与过A、B两点的直线都有交点．
点评 本题考查待定系数法确定二次函数、一次函数解析式，考查三角函数的定义，正方形的性质等知识，学会用字母m表示相应的点的坐标是解决问题的关键，是数形结合的一个好题目，属于中考压轴题．
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