Question

14．如图，在?ABCF中，∠ABC=60°，AB=BC，延长BA到D，延长CB到E，使BE=AD，连结DC，交AF于H，连结EA并延长交CD于点G．
（1）求证：EA=DC；
（2）试求∠EGC的度数；
（3）若BE=AB=2，求DG的长．

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形的判定与性质，可得AC与AB的关系，根据等角的补角相等，可得∠ABE=∠CAD=120°，再根据全等三角形的判定与性质，可得答案；
（2）根据全等三角形的性质，可得∠AEB=∠D，根据三角形外角的性质，可得∠EGC=∠D+∠DAG，∠AEB+∠BEA=∠ABC，再根据等量代换，可得答案；
（3）根据平行线的性质，可得∠DAH，根据等腰三角形的性质，可得∠E，根据三角形外角的性质，可得∠AHC的度数，根据勾股定理，可得CD的长，CG的长，根据线段的和差，可得答案．

解答 证明：（1）∵∠ABC=60°，AB=BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°．
∴∠ABE=∠CAD=120°．
在△ABE和△CAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠ABE=∠CAD}\\{BE=AD}\end{array}\right.$
∴△AEB≌△CDA（SAS），
∴EA=DC；
（2）∵△AEB≌△CDA，
∴∠AEB=∠D．
∵∠EGC=∠D+∠DAG，∠DAG=∠BAE，
∴∠EGC=∠AEB+∠BEA=∠ABC=60°；
（3）∵∠ABC=60°，AF∥BC，
∴∠DAH=60°．
∵BE=AB=2，
∴∠E=∠BAE．
∵∠E+∠BAE=60°，
∴∠E=30°．
∴∠D=30°．
∴∠AHC=∠DAH+∠D=60°+30°=90°．
∵AF∥BC，∠AHC=90°，
∴∠BCD=90°．
∵BD=BA+AD=2+2=4，BC=2，
∴CD=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$．
设CG=x，∵∠E=30°，
∴EG=2x，
∴（2x）²=x²+4²．
∴x=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
∴DG=CD-CG=2$\sqrt{3}$-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了平行四边形的性质，利用等边三角形的性质得出AC与AB的关系是解题关键；利用三角形外角的性质得出∠EGC=∠D+∠DAG，∠AEB+∠BEA=∠ABC是解题关键；利用勾股定理得出CD，CG的长是解题关键．