Question

11．如图，将直角的顶点P放在正方形ABCD的对角线AC上，使角的一边交边BC于点E，另一边交射线DC于点F，过点P作直线MN∥AD，MN交AB于点M，交CD于点N．
（1）证明：PE=PF；（只要证明图1这种情形）
（2）如图2，当点F在射线NC上时，探究线段DN，NF，BE之间有何等量关系，并加以证明；
（3）如图3，若将题中的正方形变为矩形ABCD，且AD=mCD，其余条件不变，探究线段DN，NF，BE之间的等量关系，利用图3和备用图画出图形，并直接写出相应的等量关系，不必证明．

Answer 1

分析 （1）利用同角的余角判断出∠EPQ=∠FPN，即可判断出△PQE≌△PNF（ASA），即可得出结论；
（2）先判断出DN=NF，同（1）的方法判断出△PQE≌△PNF（ASA），代换即可得出结论；
（3）分两种情况，类似（2）的方法利用相似即可得出结论．

解答 解：（1）如图1，过点P作PQ⊥BC于Q，
∴四边形CNPQ是正方形，
∴PN=PQ=CN，∠NPF+∠FPQ=90°，
∵∠EPQ+∠FPQ=90°，
∴∠EPQ=∠FPN，
在△PQE和△PNF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠PQE=∠PNF}\\{PQ=PN}\\{∠EPQ=∠FPN}\end{array}\right.$，
∴△PQE≌△PNF（ASA），
∴PE=PF，

（2）DN=BE+NF，理由：如图2，
过点P作PQ⊥BC于Q，
同（1）的方法得，四边形CNPQ是正方形，
∴CN=CQ，
∵BC=DC，
∴DN=BQ，
同（1）的方法得，△PQE≌△PNF（ASA），
∴EQ=NF，
∴DN=BQ=BE+EQ=BE+NF；

（3）①当点F在边CD上时，如图3，
∵MN∥AD，
∴∠PNC=90°，
∴tan∠ACD=$\frac{AD}{CD}=\frac{PN}{CN}$，
∵AD=mCD，
∴PN=mCN，
过点P作PQ⊥BC于Q，
∴四边形CNPQ是矩形，
∴PQ=CN，
∴PN=mPQ，
同理：BQ=PM=mAM=mDN，
同（1）的方法得，∠EPQ=∠FPN，
∵∠PQE=∠PNF，
∴△PQE∽△PNF，
∴$\frac{EQ}{NF}=\frac{PQ}{PN}$，
∴NF=mEQ，
∴NF=m（BQ-BE）=mBQ-mBE=m•mDN-mBE，
∴NF+mBE=m²DN，
②当点F在DC的延长线时，如图4，

同①的方法得出：NF+mBE=m²DN．

点评 此题是相似形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，解（1）（2）的关键是构造全等三角形，解（3）的关键是构造相似三角形，是一道典型的中考常考题．