Question

20．如图，在正方形ABCD中，点E是AD上的点，点F是BC的延长线上一点，CF=DE，连结BE和EF，EF与CD交于点G，且∠FBE=∠FEB．
（1）过点F作FH⊥BE于点H，证明：$\frac{AE}{BH}$=$\frac{BE}{BF}$；
（2）猜想：BE、AE、EF之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）若DG=2，求AE值．

Answer 1

分析 （1）根据正方形的性质得到∠AEB=∠EBF，由已知条件得到∠A=∠BHF，根据相似三角形的判定定理即可得到结论；
（2）根据已知条件得到FH是等腰△FBE底边上的高，求得BH=$\frac{1}{2}$BE，由根据相似三角形的性质得到$\frac{AE}{BH}=\frac{BE}{BF}$，等量代换即可得到结论；
（3）由已知条件得到正方形ABCD的边长为4，设AE=k（0＜k＜2），则DE═4-k，BF=8-k，根据勾股定理列方程即可得到结果．

解答 （1）证明：∵在正方形ABCD中，AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBF，
又∵FH⊥BE，
∴∠A=∠BHF=90°，
∴△ABE∽△HFB，
∴$\frac{AE}{BH}$=$\frac{BE}{BF}$；

（2）BE²=2AE•EF，

证明如下：∵∠FBE=∠FEB，
∴BF=EF，
∵FH⊥BE，
∴FH是等腰△FBE底边上的中线，
∴BH=$\frac{1}{2}$BE，
由（1）得，$\frac{AE}{BH}=\frac{BE}{BF}$，
∴$\frac{AE}{\frac{1}{2}BE}=\frac{BE}{BF}$
∴BE²=2AE•BF；
∵BF=EF，
∴BE²=2AE•EF；

（3）解：∵DG═2，
∴正方形ABCD的边长为4，
设AE=k（0＜k＜4），
则DE═4-k，BF=8-k，
在Rt△ABM中，BE²=AB²+AE²=16+k²，
由BE²=2AE•BF，得16+k²=2k（8-k），
即3k²-16k+16=0，解得   k=$\frac{4}{3}$或k=4
∵k≠4，
∴AE=$\frac{4}{3}$．

点评 此题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，平行线的性质，证得△ABE∽△HFB是解（1）的关键，判断出FH是等腰△FBE底边上的中线是解（2）的关键，得出16+k²=2k（8-k）是解（3）的关键．