Question

18．先阅读下面的材料，然后解答问题：
已知：如图1，等腰△ABC中，∠B=90°，AD是∠BAC的角平分线，交BC边于D．
求证：AC=AB+BD．
证明：如图1，在AC上截取AE=AB，连接DE．
则由已知条件易知：△ADB≌△ADE（SAS）
∴∠AED=∠B=90°，BD=DE．
又∵等腰△ABC中，∠B=90°
∴∠C=45°，
∴∠EDC=∠C=45°，
∴DE=EC
∴AC=AE+EC=AB+BD
我们将这种证明一条线段等于另两条线段和的方法称为“截长法”．
解决问题：现将原题中“AD是∠BAC的角平分线，且交BC边于D”换成“AD是△ABC外角∠BAF的平分线，交CB边的延长线于点D（如图2）”其它条件不变，请你猜想线段AC、AB、BD之间的数量关系，并证明你的猜想．

Answer 1

分析 在CA的延长线上截取AE=AB，然后利用“边角边”证明△ADB和△ADE全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=DB，全等三角形对应角相等可得∠AED=∠ADB=90°，然后判断出△DEC是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得DE=CE，然后求解即可．

解答 猜想：线段AC、AB、BD之间的数量关系是BD=AB+AC．
证明：如图，在CA的延长线上截取AE=AB，
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠BAD=∠EAD，
在△ADB和△ADE中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=AD}\\{∠BAD=∠EAD}\\{AE=AB}\end{array}\right.$，
∴△ADB≌△ADE（SAS），
∴BE=DB，∠AED=∠ADB=90°，
∵等腰△ABC中∠C=45°，
∴△DEC是等腰直角三角形，
∴DE=CE，
∴BD=DE=CE=AE+AC=AB+AC，
即BD=AB+AC．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，读懂题目信息，理解“截长法”的操作方法是解题的关键．