Question

12．已知二次函数y₁=a（x-2）²+k中，函数y₁与自变量x的部分对应值如表：

x	…	1	2	3	4	…
y	…	2	1	2	5	…

（1）求该二次函数的表达式；
（2）将该函数的图象向左平移2个单位长度，得到二次函数y₂的图象，分别在y₁、y₂的图象上取点A（m，n₁）B（m+1，n₂），试比较n₁与n₂的大小．

Answer 1

分析 （1）找出顶点（2，1）代入一个点可求得二次函数的表达式；
（2）分别把A、B两点的坐标代入表达式中，求出对应的n₁和n₂的值，比较大小即可．

解答 解：（1）从表格看，二次函数顶点为（2，1），则k=1，
把（1，2）代入y₁=a（x-2）²+1中得：2=a（1-2）²+1，a=1，
∴二次函数的表达式；y₁=（x-2）²+1；
（2）由题意得：y₂=（x-2+2）²+1=x²+1，
把A（m，n₁）B（m+1，n₂）分别代入y₁、y₂的表达式中，
n₁=（m-2）²+1=m²-4m+5，
n₂=（m+1）²+1=m²+2m+2，
n₁-n₂=（m²-4m+5）-（m²+2m+2）=-6m+3，
-6m+3＞0，m＜$\frac{1}{2}$，
-6m+3＜0，m＞$\frac{1}{2}$，
∴当m＜$\frac{1}{2}$时，n₁-n₂＞0，即n₁＞n₂，
当m=$\frac{1}{2}$时，n₁-n₂=0，即n₁=n₂，
当m＞$\frac{1}{2}$时，n₁-n₂＜0，即n₁＜n₂．

点评 本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式及几何变换，待定系数法就是将图象上的两点或三点的坐标代入解析式中列方程组，解出字母系数，写出二次函数的解析式；对于第二问中的纵坐标的大小比较，代入可求得．