Question

4．如图，正方形ABCD的三边中点E、F、G，连ED交AF于M，GC交DE于N，下列结论：
①AF⊥DE；
②AF∥CG；
③CD=CM；
④∠CMD=∠AGM．
其中正确的有（　　）

• A． ①②③
• B． ①②④
• C． ①③④
• D． ①②③④

Answer 1

分析 由△ADE≌△BAF得∠ADE=∠BAF，由此推出①正确；由四边形AGCF是平行四边形，推出②正确；可以证明CG是DM的垂直平分线，由此推出③正确；假设④成立推出∠AGM=60°，显然不可能，由此即可解决问题．

解答 解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠BAC=∠ADC=∠DCB=∠B=90°，
∵AE=EB=AG=DG=BF=CF，
在△ADE和△ABF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=BF}\\{∠DAE=∠B}\\{AD=AB}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△BAF，
∠ADE=∠BAF，
∵∠ADE+∠AED=90°，
∴∠BAF+∠AEM=90°，
∴∠AME=90°，
∴AF⊥DE，故①正确，
∵AG=CF，AG∥CF，
∴四边形AGCF是平行四边形，
∴AF∥CG，故②正确，
∵AF⊥DE，
∴CG⊥DM，
∵AG=GD，
∴GM=GD，
∴MN=DN，
∴CM=CD，故③正确，
若∠CMD=∠AGM，则∠AGM=∠CMD=2∠GMD，
∴∠GMD=30°，∠AGM=60°，
这个显然不可能，故④错误．
故选A．

点评 本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，属于中考常考题型．