已知抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A和B点.与y轴交于点C.其顶点的坐标为($\frac{3}{2}$.-$\frac{25}{4}$)．(1)求抛物线的解析式.并求B.C两点的坐标．(2)如图1.若平行于x轴的一条动直线L1交直线BC于点P.且x轴有一点D(2.0).当三角形ODP为等腰三角形时.求点P的坐标．(3)如图2.若垂直x轴的另一条动直线L2交抛物线于E点.交线� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

17．已知抛物线y=ax²+bx+c交x轴于A（-1，0）和B点（B点在点A右侧），与y轴交于点C，其顶点的坐标为（$\frac{3}{2}$，-$\frac{25}{4}$）．
（1）求抛物线的解析式，并求B、C两点的坐标．
（2）如图1，若平行于x轴的一条动直线L₁交直线BC于点P，且x轴有一点D（2，0），当三角形ODP为等腰三角形时，求点P的坐标．
（3）如图2，若垂直x轴的另一条动直线L₂交抛物线于E点，交线段BC于F点，交x轴于H点，三角形BCE的面积是否存在最大值？若存在，求出它的最大值，并求此时点E的坐标；若不存在请说明理由．

分析（1）根据函数值相等的两点关于对称轴对称，可得B点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；根据自变量与函数值的对应关系，可得C点坐标；
（2）根据等腰三角形的定义，可得关于m的方程，根据解方程，可得m，根据自变量与函数值的对应关系，可得P点坐标；
（3）根据平行于y轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得EF的长，根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得m的值，面积的最大值；根据自变量与函数值的对应关系，可得E点坐标．

解答解：（1）由顶点坐标为（$\frac{3}{2}$，-$\frac{25}{4}$），得对称轴为x=$\frac{3}{2}$．
由A、B关于对称轴对称，得
$\frac{3}{2}$-（-1）=$\frac{5}{2}$，$\frac{3}{2}$+$\frac{5}{2}$=4，即B点坐标为（4，0）．
将A、B、顶点坐标代入函数解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{16a+4b+c=0}\\{\frac{9}{4}a+\frac{3}{2}b+4c=-\frac{25}{4}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-3}\\{c=-4}\end{array}\right.$，
抛物线的解析式为y=x²-3x-4；
当x=0时，y=-4，即C点坐标为（0，-4）；
（2）如图1：
，
设BC的解析式为y=kx+b，将B、C点坐标代入，得
$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{b=-4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-4}\end{array}\right.$，
BC的解析式为y=x-4，
P在BC上，设P（m，m-4），OP²=m²+（m-4）²，PD²=（m-2）²+（m-4）²，OD²=4．
当PO=OD时，m²+（m-4）²=4化简，得m²-4m+6=0，方程无解；
当PO=PD时，m²+（m-4）²=（m-2）²+（m-4）²，化简，得4m-4=0，解得m=1，m-4=-3，即P（1，-3）；
当OD=PD时，（m-2）²+（m-4）²=4，化简，得m²-6m+8=0，解得m=2，m=4（不符合题意，舍），m-4=-2，即P（2，-2）；
综上所述：当三角形ODP为等腰三角形时，点P的坐标（1，-3），（2，-2）；
（3）如图2：
，
E在抛物线上，F在BC上，设E（m，m²-3m-4），F（m，m-4），
EF=m-4-（m²-3m-4）=-m²+4m=-（m-2）²+4，
S_△BCE=S_△BEF+S_△CEF
=$\frac{1}{2}$FE•BH+$\frac{1}{2}$EF•O
H=$\frac{1}{2}$EF•OB
=$\frac{1}{2}$[-（m-2）²+4]×4
当m=2时，S_最大=8，
当m=2时，m-4=2-4=-2，即E（2，-2）．