Question

7．如图，AO、BO、CO、DO分别是四边形ABCD的四个内角的平分线．
（1）判断∠AOB与∠COD有怎样的数量关系，为什么？
（2）若∠AOD=∠BOC，AB、CD有怎样的位置关系，为什么？

Answer 1

分析 （1）根据角平分线的定义得到∠1=$\frac{1}{2}∠$DAB，∠2=$\frac{1}{2}$ABC，∠3=$\frac{1}{2}∠$ADC，∠4=$\frac{1}{2}∠$BCD，根据四边形的内角和即可得到结论；
（2）由（1）证得∠AOB+∠COD=180°，得到∠AOD+∠BOC=180°，根据角平分线的定义得到∠BAD+∠ADC=180°，由平行线的判定定理即可得到结论．

解答 解：（1）∠AOB+∠COD=180°，
理由：∵AO、BO、CO、DO分别是四边形ABCD的四个内角的平分线，
∴∠1=$\frac{1}{2}∠$DAB，∠2=$\frac{1}{2}$ABC，∠3=$\frac{1}{2}∠$ADC，∠4=$\frac{1}{2}∠$BCD，
∴∠1+∠2+∠3+∠4=$\frac{1}{2}$（∠DAB+∠ABC+∠ADC+∠BCD）=$\frac{1}{2}×360°$=180°，
∴∠AOB+∠COD=360°-∠1-∠2-∠3-∠4=180°；

（2）AB∥CD；
理由：由（1）证得∠AOB+∠COD=180°，
∴∠AOD+∠BOC=180°，
∵∠AOD=∠BOC，
∴∠AOD=90°，
∵AO、BO、CO、DO分别是四边形ABCD的四个内角的平分线，
∴∠OAD+∠ADO=$\frac{1}{2}$（∠BAD+∠ADC）=90°，
∴∠BAD+∠ADC=180°，
∴AB∥CD．

点评 本题考查了多边形的内角和外角，平行线的判定，角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键．