Question

5．如图，抛物线y=-x²+2x+m（m＞0）与y轴交于A，顶点为D，直线y=-$\frac{1}{2}$x-2m分别与x轴、y轴交于B、C两点，与直线AD相交于E点．
（1）求A、D的坐标（用m的代数式表示）；
（2）将△EAC沿着y轴翻折，若点E的对称点P恰好落在抛物线上，求m的值；
（3）若在抛物线y=-x²+2x+m（m＞0）上存在点P，使得以P、A、C、E为顶点的四边形是平行四边形，求此抛物线的解析式．

Answer 1

分析 （1）利用配方法求出顶点D坐标，令x=0，可以求出点A坐标．
（2）求出直线AC解析式，利用方程组求出点E坐标，再求出点E关于y轴对称点E′坐标，利用待定系数法即可解决问题．
（3）分AC为边，AC为对角线两种情形分别讨论即可解决问题．

解答 解：（1）∵y=-x²+2x+m=-（x-1）²+m+1，
∴顶点D（1，m+1），
令x=0，则y=m，
∴点A（0，m），
∴A（0，m），D（1，m+1）．
（2）设直线AD为y=kx+b，则$\left\{\begin{array}{l}{b=m}\\{k+b=m+1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=m}\end{array}\right.$，
∴直线AD解析式为y=X+m，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{y=-\frac{1}{2}x-2m}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-2m}\\{y=-m}\end{array}\right.$，
∴点E坐标为（-2m，-m），
∴点E关于y轴的对称点E′（2m，-m），
∵点E′在抛物线上，
∴-m=-4m²+4m+m，
∴m=$\frac{3}{2}$或0，
∵m＞0，
∴m=$\frac{3}{2}$
（3）如图，
①当AC为边时，EP∥AC，EP=AC，
∴点P坐标（-2m，-4m），
∴-4m=-4m²-4m+m，
∴m=$\frac{1}{4}$或0（舍弃），
②当AC为对角线时，点P′坐标（2m，0），
∴0=-4m²+4m+m，
∴m=$\frac{5}{4}$或0（舍弃）
∴抛物线解析式为y=-x²+2x+$\frac{5}{4}$或y=-x²+2x+$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查二次函数综合题、一次函数、对称、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会用配方法确定抛物线顶点坐标，学会分类讨论，知道可以利用方程组求两个函数图象交点坐标，属于中考压轴题．