Question

18．如图，正方形ABCD的边长为2cm，△PMN是直角一块三角板（∠N=30°），PM＞2cm，PM与BC均在直线l上，开始时M点与B点重合，将三角板向右平行移动，直至M点与C点重合为止．设BM=xcm，三角板与正方形重叠部分的面积外ycm²．
下列结论：
①当0≤x≤$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$时，y与x之间的函数关系式为y=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x；
②当$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$≤x≤2时，y与x之间的函数关系式为y=2x-$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$；
③当MN经过AB的中点时，y=$\frac{1}{2}$$\sqrt{3}$（cm²）；
④存在x的值，使y=$\frac{1}{2}$S_{正方形ABCD}（$\frac{1}{2}$S_{正方形ABCD}表示正方形ABCD的面积）．
其中正确的是②④（写出所有正确结论的序号）．

Answer 1

分析 ①当0≤x≤$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$时，根据正切的概念求出BE，得到y与x之间的函数关系式；
②当$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$≤x≤2时，根据正确的概念和梯形的面积公式求出y与x之间的函数关系式；
③当MN经过AB的中点时，根据BE=1，求出BM的长，求出y的值；
④假设存在x的值，根据题意进行解答，求出x，看是否符合条件．

解答 解：如图1，当MN经过点A时，
tan∠BAM=$\frac{BM}{AB}$，
∴BM=AB×tan30°=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
（1）如图2，当0≤x≤$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$时，
在Rt△EBM中，tan∠EMB=$\frac{BE}{BM}$，
∴BE=$\sqrt{3}$x，
y=$\frac{1}{2}$×x×$\sqrt{3}$x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x²，
故（1）不正确；
如图3，当$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$≤x≤2时，
作EF⊥BC于F，
则EF=AB=2，FM=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴AE=BF=x-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
y=$\frac{1}{2}$（x-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$+x）×2=2x-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
故（2）正确；
当MN经过AB的中点时，BE=1，
则BM=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
y=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{3}$×1=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，
故（3）不正确；
当y=$\frac{1}{2}$S_{正方形ABCD}时，
2x-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$=$\frac{1}{2}$×2²，
解得，x=$\frac{3+\sqrt{3}}{3}$，符合题意，
故（4）正确，
故答案为：②④．

点评 本题考查的是几何变换，掌握正方形的性质和锐角三角函数的概念是解题的关键，在求函数解析式时，注意分情况讨论思想的正确运用．