Question

8．给定直角三角形ABC，点D是AC边上任意一点．两个圆与直线AB分别相切于点A和B，这两个圆交于D和E两点．求证：∠BAC=∠DEC．

Answer 1

分析 如图，延长ED交AB于F．根据切割线定理，得到FA²=FD•FE，FB²=FD•FE，推出AF=FB，推出，CF=AF=FB，再证明△CFD∽△EFC，由此即可解决问题．

解答 证明：如图，延长ED交AB于F．

∵AB是两圆的公切线，
∴FA²=FD•FE，FB²=FD•FE，
∴AF²=FB²，
∴AF=FB，
∵∠ACB=90°，
∴CF=FA=FB，
∴∠1=∠3，
∴CF²=FD•FE，
∴$\frac{CF}{DF}$=$\frac{FE}{CF}$，∵∠DFC=∠CFE，
∴△CFD∽△EFC，
∴∠3=∠1，
∴∠1=∠2．
∴∠BAC=∠DEC．

点评 本题考查切线的性质、切线长定理，直角三角形斜边中线性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形，题目比较难，用到切线定理．