Question

19．如图，四边形ABCD中，∠BAD=135°，∠BCD=90°，AB=BC=4，tan∠BDC=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
（1）求BD的长；
（2）求AD的长．

Answer 1

分析 （1）先根据锐角三角函数的定义求出CD的长，再根据勾股定理即可得出结论；
（2）过点D作DE⊥AB交BA延长线于点E，先判断出△ADE的形状，再根据勾股定理即可得出结论．

解答 解：（1）在Rt△BCD中，∠BCD=90°，BC=4，tan∠BDC=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴$\frac{4}{CD}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴CD=2$\sqrt{6}$，
∴由勾股定理得BD=$\sqrt{B{C}^{2}+C{D}^{2}}$=2$\sqrt{10}$；

（2）如图，过点D作DE⊥AB交BA延长线于点E．
∵∠BAD=135°，
∴∠EAD=∠ADE=45°．
∴AE=ED．
设AE=ED=x，则AD=$\sqrt{2}$x．
∵DE²+BE²=BD²，
∴x²+（x+4）²=（2$\sqrt{10}$）²．
解得x₁=-6舍），x₂=2
∴AD=$\sqrt{2}$x=2$\sqrt{2}$

点评 本题考查的是勾股定理及锐角三角函数的定义，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键．