Question

如图，点B是x轴正半轴上一动点，点A是线段OB垂直平分线上的点，P为y轴正半轴上一动点，且∠OPB=∠OAB=α（α为锐角）．

（1）求证：∠AOP=∠ABP；
（2）如图1，若∠AOB=60°，PO=2，求：①PB的长；②PA的长．
（3）已知，点A的纵坐标是3，问当点B在x轴正半轴上移动时（如图2），PO+PB的长是否会发生改变？若不变，求出PO+PB的值；若会改变，请说明理由．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,坐标与图形性质,线段垂直平分线的性质,等边三角形的判定与性质

专题：计算题

分析：（1）由已知角相等，以及对顶角相等，利用三角形内角和定理即可得证；
（2）由点A是线段OB垂直平分线上的点，得到OA=AB，再由∠AOB=60°，得到三角形AOB为等边三角形，利用等边三角形三内角为60°得到∠OPB=∠OAB=∠OBA=60°，根据∠POB=90°，得到∠OBP=30°，利用30度所对的直角边等于斜边的一半得到PB=2OP，求出PB的长，且BM为平分线，利用三线合一得到BM垂直于OA，且AM=OM，即可得到PA=OP=2；
（3）PO+PB的长不变，理由为：延长BA交y轴于点D，过A作AH⊥x轴，AE⊥y轴，由OA=AB，利用等边对等角得到∠AOB=∠ABO，再由∠ABO+∠ODB=∠AOB+∠AOD=90°，得到∠AOD=∠ODB，进而确定出∠ODB=∠ABP，利用等角对等边得到AD=OA，BP=PD，即E为OD中点，即可确定出PO+PB的长．

解答：（1）证明：∵∠OPB=∠OAB，且∠OMP=∠AMB，
∴∠AOP=∠ABP；
（2）解：∵点A为OB垂直平分线上的点，
∴OA=AB，
∵∠AOB=60°，
∴△AOB为等边三角形，
∴∠OPB=∠OAB=∠OBA=60°，
∵∠POB=90°，
∴∠OBP=30°，
∴PB=2OP=4，BM平分∠ABO，
∴BM⊥OA，AM=OM，
∴PA=OP=2；
（3）解：PO+PB的长不变，理由为：
延长BA交y轴于点D，过A作AH⊥x轴，AE⊥y轴；
∵OA=AB，
∴∠AOB=∠ABO，
∵∠ABO+∠ODB=∠AOB+∠AOD=90°，
∴∠AOD=∠ODB，
∴∠ODB=∠ABP，
∴AD=OA，BP=PD，
∴E为OD中点，
∵OE=AH=3，
∴PO+PB=PO+PD=OP+PE+DE=2AH=6．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，以及线段垂直平分线定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．