Question

阅读下面材料：
在学习小组活动中，小明探究了下面问题：菱形纸片ABCD的边长为2，折叠菱形纸片，将B、D两点重合在对角线BD上的同一点处，折痕分别为EF、GH．当重合点在对角线BD上移动时，六边形AEFCHG的周长的变化情况是怎样的？
小明发现：若∠ABC=60°，

①如图1，当重合点在菱形的对称中心O处时，六边形AEFCHG的周长为

 

；
②如图2，当重合点在对角线BD上移动时，六边形AEFCHG的周长

 

（填“改变”或“不变”）．
请帮助小明解决下面问题：
如果菱形纸片ABCD边长仍为2，改变∠ABC的大小，折痕EF的长为m．
（1）如图3，若∠ABC=120°，则六边形AEFCHG的周长为

 

；
（2）如图4，若∠ABC的大小为2α，则六边形AEFCHG的周长可表示为

 

．

Answer 1

考点：翻折变换（折叠问题）,菱形的性质

专题：

分析：①根据题意可知△BEF和△DGH是等边三角形，再根据菱形的性质即可求解；
②根据题意可知△BEF和△DGH是等边三角形，再根据菱形的性质即可求解；
（1）根据题意可知EF+GH=AC，再根据三角函数和菱的性质即可求解；
（2）根据题意可知EF+GH=AC，再根据三角函数和菱形的性质即可求解．

解答：解：①如图1，当重合点在菱形的对称中心O处时，
由题意可知△BEF和△DGH是等边三角形，
∴EF+AE+AG+GH+CH+CF=BE+AE+AG+GD+DH+CH=2+2+2=6．
∴六边形AEFCHG的周长为 6；
②如图2，当重合点在对角线BD上移动时，
由题意可知△BEF和△DGH是等边三角形，
∴EF+AE+AG+GH+CH+CF=BE+AE+AG+GD+DH+CH=2+2+2=6．
∴六边形AEFCHG的周长为6．
故六边形AEFCHG的周长不变．
（1）如图3，若∠ABC=120°，
由题意可知EF+GH=AC，
则六边形AEFCHG的周长为2×2+2×sin60°×2=4+2

3

；
（2）如图4，若∠ABC的大小为2α，
由题意可知EF+GH=AC，
则六边形AEFCHG的周长可表示为2×2+2×sinα×2=4+4sinα．
故答案为：①6；②不变．（1）4+2

3

；（2）4+4sinα．

点评：考查了翻折变换（折叠问题），菱形的性质，本题关键是得到EF+GH=AC，综合性较强，有一定的难度．