题目内容
16．已知：二次函数y=x2+2mx+2n，交x轴于A，B两点（A在B的左侧）．（1）当m=3时，n=4时，①求A、B两点坐标；②将抛物线向右平移平移k个单位后交x轴于M、N（M在N的左侧），若B、M三等分AN，直接写出k的值；
（2）当m=1时，若线段AB上有且只有5个点的横坐标为整数，求n的取值范围；
（3）记A（x1，0）、B（x2，0），当m、n都是奇数时，x1、x2能否是有理数？若能，请举例验证，若不能，请说明理由．
分析 （1）①当m=3时，n=4时，二次函数解析式为y=x2+6x+8，令y=0，解方程即可解决问题．
②根据条件求出点M的坐标即可解决问题．
（2）由题意可知，x=1时，y＜0；x=2时，y＞0；列出不等式即可解决问题．
（3）当m、n都是奇数时，x1、x2不可能是有理数．用反证法证明即可．
解答 解：（1）当m=3时，n=4时，二次函数解析式为y=x2+6x+8，
①令y=0得到x2+6x+8=0，解得x=-2或-4，
∴A（-4，0），B（-2，0）．
②∵抛物线向右平移平移k个单位后交x轴于M、N（M在N的左侧），B、M三等分AN，AB=2，
∴AM=BM=1，
∴M（-3，0），
k=1．
（2）∵m=1时，抛物线的对称轴x=-1，
∴线段AB上有且只有5个点的横坐标为整数，这些整数为-3，-2，-1，0，1，
∴x=1时，y＜0；x=2时，y＞0；
∴$\left\{\begin{array}{l}{1+2+2n＜0}\\{4+4+2n＞0}\end{array}\right.$，
解得-4＜n＜-$\frac{3}{2}$．
（3）当m、n都是奇数时，x1、x2不可能是有理数．
理由：假设m、n都是奇数时，x1、x2是有理数，
∵x1•x2=2n，
∴x1，x2中肯定一个是奇数，一个是偶数，
∴x1+x2一定是奇数，
由题意x1+x2=-2m是偶数，与假设你、矛盾，
∴假设不成立，
∴当m、n都是奇数时，x1、x2不可能是有理数．
点评 本题考查二次函数与坐标轴的交点问题、平移变换、不等式组、根与系数关系、反证法等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
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