Question

11．如图，在△ABC中，AB=AC，M为边BC的中点，MG⊥AB，MD⊥AC，DE⊥AB，GF⊥AC，垂足分别为G、D、E、F；GF、DE相交于点H，求证：四边形HGMD是菱形．

Answer 1

分析 连接AM，根据同一平面内垂直于同一条直线的两直线互相平行可证明MG∥DE，GF∥DM，进而可得四边形HGMD是平行四边形，再根据等腰三角形三线合一的性质可得AM平分∠BAC，再由角平分线的性质可得MG=MD，进而可得四边形HGMD是菱形．

解答 证明：连接AM，
∵MG⊥AB，DE⊥AB，
∴MG∥DE，
∵MD⊥AC，GF⊥AC，
∴GF∥DM，
∴四边形HGMD是平行四边形，
∵AB=AC，M为边BC的中点，
∴AM平分∠BAC，
∵MG⊥AB，MD⊥AC，
∴MG=MD，
∴四边形HGMD是菱形．

点评 此题主要考查了菱形的判定，关键是掌握一组邻边相等的平行四边形是菱形．