Question

6．数字不同的两位数，将其数字交换后，得到一个新的两位数，这两个两位数的平方差是完全平方数，则这个两位数是56或65．

Answer 1

分析 设十位数字为a，个位数字为b，这个两位数就为10a+b，交换位置后为10b+a，（10a+b）²-（10b+a）²=99（a+b）（a-b），因而a+b是11的倍数即a+b=11k，且（a-b）k是完全平方数，由此讨论得到解．

解答 解：设这个两位数十位数字为a，个位数字为b，
（10a+b）²-（10b+a）²=99（a+b）（a-b），
因为a、b是不同的数字，
由此得出a+b是11的倍数，即a+b=11k，由a≤9，b≤9，即a+b≤18，所以k=1，a+b=11，
（a-b）k是完全平方数，因此（a-b）可以为0，1，4，于是得到，
$\left\{\begin{array}{l}{a+b=11}\\{a-b=1}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{a+b=11}\\{a-b=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{a+b=11}\\{a-b=4}\end{array}\right.$，
只有一组解符合要求，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=6}\\{b=5}\end{array}\right.$，
因此这两位数有56，65共两个．
故答案为：56或65．

点评 本题考查了完全平方数与整数的十进制表示法，关键是设出这个两位数的十位数字是a，个位数字是b，然后根据题意列方程求解．