Question

1．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，若以C为圆心，r为半径画⊙C，请根据下列条件，求半径r的值或取值范围．
（1）⊙C与斜边AB有1个公共交点；
（2）⊙C与斜边AB有2个公共交点；
（3）⊙C与斜边AB没有公共交点．

Answer 1

分析 （1）过点C作CD⊥AB于点D，再分圆与AB相切时；点A在圆内部，点B在圆上或圆外时，根据勾股定理以及直角三角形的面积计算出其斜边上的高，再根据位置关系与数量之间的联系进行求解；
（2）要使圆与斜边AB有两个交点，则应满足直线和圆相交，且半径不大于AC．要保证相交，只需求得相切时，圆心到斜边的距离，即斜边上的高即可；
（3）根据⊙C与斜边AB没有公共交点可知r＜CD或点B在⊙C的内部，据此可得出结论．

解答 解：（1）如图，∵∠C=90°，AC=3，BC=4，
∴AB=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∴CD=$\frac{3×4}{5}$=2.4．
当圆与AB相切时，即r=CD=2.4；
当点A在圆内部，点B在圆上或圆外时，此时AC＜r≤BC，即3＜r≤4．
∴3＜r≤4或r=2.4；

（2）∵BC＞AC，
∴以C为圆心，R为半径所作的圆与斜边AB有两个交点，则圆的半径应大于CD，小于或等于AC，
∴r的取值范围是2.4＜R≤3；

（3）∵⊙C与斜边AB没有公共交点，
∴r＜CD或点B在⊙C的内部，
∴r＜2.4或r＞4．

点评 本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．