Question

16．如图，等腰Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BE平分∠ABC交AC于E，过C作CD⊥BE于D，求证：BE=2CD．

Answer 1

分析 延长BA和CD交于Q，证△ABE≌△ACQ，求出BE=CQ，求出∠BDC=∠BDQ=90°，证△QDB≌△CDB，推出CD=DQ即可．

解答 证明：延长BA和CD交于Q，
∵∠CAQ=∠BAE=∠BDC=90°，
∴∠ACQ+∠Q=90°，∠ABE+∠Q=90°，
∴∠ACQ=∠ABE，
在△ABE和△ACQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠ACQ}\\{AB=AC}\\{∠BAE=∠CAQ}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ACQ（ASA），
∴BE=CQ，
∵BD平分∠ABC，
∴∠QBD=∠CBD，
∵∠BDC=90°，
∴∠BDC=∠BDQ=90°，
在△QDB和△CDB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠QBD=∠CBD\\;}\\{BD=BD}\\{∠BDQ=∠BDC}\end{array}\right.$，
∴△QDB≌△CDB（ASA），
∴CD=DQ，
∴CQ=2CD，
∴BE=2CD．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理的应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形．