Question

19．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，将△ABC绕点B逆时针旋转60°得到△A′BC′，连接A′C，则A′C的长为4+3$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 连结CC′，A′C交BC于O点，如图，利用旋转的性质得BC=BC′=6，∠CBC′=60°，A′B=AB=AC=A′C′=5，则可判断△BCC′为等边三角形，接着利用线段垂直平分线定理的逆定理说明A′C垂直平分B′C，则BO=$\frac{1}{2}$BC′=3，然后利用勾股定理计算出A′O，利用三角函数计算出OC，最后计算A′O+OC即可．

解答 解：连结CC′，A′C交BC于O点，如图，
∵△ABC绕点B逆时针旋转60°得到△A′BC′，
∴BC=BC′=6，∠CBC′=60°，A′B=AB=AC=A′C′=5，
∴△BCC′为等边三角形，
∴CB=CB′，
而A′B=A′C′，
∴A′C垂直平分B′C，
∴BO=$\frac{1}{2}$BC′=3，
在Rt△A′OB中，A′O=$\sqrt{A′{B}^{2}-O{B}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
在Rt△OBC中，∵tsin∠CBO=sin60°=$\frac{OC}{BC}$，
∴OC=6×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3$\sqrt{3}$，
∴A′C=A′O+OC=4+3$\sqrt{3}$．
故答案为4+3$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．解决本题的关键是证明△BCC′为等边三角形和A′C⊥BC′．