Question

11．如图，正方形ABCD的边长为2，AE=EB，MN=1，线段MN的两端分别在CB、CD上滑动，那么当CM=$\frac{\sqrt{5}}{5}$或$\frac{2\sqrt{5}}{5}$时，△ADE与△MNC相似．

Answer 1

分析 先利用勾股定理计算出DE，再分类讨论：当AE：CM=DE：MN时，△AED∽△CMN，当AD：CM=DE：MN时，△AED∽△CMN，然后分别利用相似比计算出对应的CM的值即可．

解答 解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠A=∠C=90°，AB=AD=2，
∵AE=EB=1，
∴DE=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴当AE：CM=DE：MN时，△AED∽△CMN，即1：CM=$\sqrt{5}$：1，解得CM=$\frac{\sqrt{5}}{5}$；
当AD：CM=DE：MN时，△AED∽△CMN，即2：CM=$\sqrt{5}$：1，解得CM=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$；
综上所述，CM为$\frac{\sqrt{5}}{5}$或$\frac{2\sqrt{5}}{5}$时，△ADE与△MNC相似．
故答案为$\frac{\sqrt{5}}{5}$或$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；两组对应边的比相等两个直角三角形相似．注意分类讨论思想的应用．