题目内容
如图1，我们知道，若点C将切断AB分成两部分，且
=
，则称点C为线段AB的黄金分割点．类似地，我们可以给出“黄金分割点”的定义：若直线l将一个面积为S的图形分成两部分S1，S2，且
=
，则称直线l为该图形的黄金分割线．
（1）如图2，在△ABC中，若点D为AB边上的黄金分割点（靠近B），则直线CD是△ABC的黄金分割线吗？为什么？
（2）如图3，在△ABC中，D为AB的黄金分割点（靠近B），过点C任作一条直线交AB于点E，再过点D作直线DF∥CE，交AC于点F，则直线EF也为△ABC的黄金分割线，请你说明理由．
（3）如图4，四边形ABCD中，点E为AC的一个黄金分割点（靠近A），请你画出四边形ABCD的一条黄金分割线，简单写出画法步骤，并说明理由．
| AC |
| AB |
| BC |
| AC |
| S1 |
| S |
| S2 |
| S1 |
（1）如图2，在△ABC中，若点D为AB边上的黄金分割点（靠近B），则直线CD是△ABC的黄金分割线吗？为什么？
（2）如图3，在△ABC中，D为AB的黄金分割点（靠近B），过点C任作一条直线交AB于点E，再过点D作直线DF∥CE，交AC于点F，则直线EF也为△ABC的黄金分割线，请你说明理由．
（3）如图4，四边形ABCD中，点E为AC的一个黄金分割点（靠近A），请你画出四边形ABCD的一条黄金分割线，简单写出画法步骤，并说明理由．
考点：黄金分割
专题：常规题型
分析：（1）根据三角形面积公式得到S△ACD：S△ABC=AD：AB，S△BCD：S△ACD=BD：AD，再根据黄金分割的定义得到AD：AB=BD：AD，所以S△ACD：S△ABC=S△BCD：S△ACD，于是根据图形的黄金分割线定义即可得到CD是△ABC的黄金分割线；
（2）根据三角形面积公式，由DE∥CE得到S△DCF=S△EDF，则S△ACD=S△AEF，S△BCD=S四边形BCFE，利用S△ACD：S△ABC=S△BCD：S△ACD得到S△AEF：S△ABC=S四边形BCFE：S△AEF，所以可判断直线EF为△ABC的黄金分割线；
（3）连结BE、DE、BD，过点E作MN∥BD分别交AD、AB于M、N，连结BM，则BM为四边形ABCD的一条黄金分割线．利用（2）的结论进行说明．
（2）根据三角形面积公式，由DE∥CE得到S△DCF=S△EDF，则S△ACD=S△AEF，S△BCD=S四边形BCFE，利用S△ACD：S△ABC=S△BCD：S△ACD得到S△AEF：S△ABC=S四边形BCFE：S△AEF，所以可判断直线EF为△ABC的黄金分割线；
（3）连结BE、DE、BD，过点E作MN∥BD分别交AD、AB于M、N，连结BM，则BM为四边形ABCD的一条黄金分割线．利用（2）的结论进行说明．
解答：解：（1）∵S△ACD：S△ABC=AD：AB，S△BCD：S△ACD=BD：AD，
又∵D是AB的黄金分割点，
∴AD：AB=BD：AD，
S△ACD：S△ABC=S△BCD：S△ACD，
∴CD是△ABC的黄金分割线；
（2）∵DE∥CE，
∴S△DCF=S△EDF，
∴S△ACD=S△AEF，
∴S△BCD=S四边形BCFE，
∵S△ACD：S△ABC=S△BCD：S△ACD，
∴S△AEF：S△ABC=S四边形BCFE：S△AEF，
∴直线EF为△ABC的黄金分割线；
（3）
连结BE、DE、BD，过点E作MN∥BD分别交AD、AB于M、N，连结BM，则BM为四边形ABCD的一条黄金分割线．理由如下：
∵点E为AC的一个黄金分割点（靠近A），
∴S△AED：S△DEC=S△DCE：S△ACD，S△ABE：S△EBC=S△BCE：S△ABC，
∵MN∥BD，
∴S△MEB=S△MED，
∴S四边形BCDM=S四边形BCDE=S△DCE+S△BCE，
S△ABM=S△ADE+S△ABE，
∴S△ABM：S四边形BCDM=S四边形BCDM：S四边形ABCD，
∴BM为四边形ABCD的一条黄金分割线．
又∵D是AB的黄金分割点，
∴AD：AB=BD：AD，
S△ACD：S△ABC=S△BCD：S△ACD，
∴CD是△ABC的黄金分割线；
（2）∵DE∥CE，
∴S△DCF=S△EDF，
∴S△ACD=S△AEF，
∴S△BCD=S四边形BCFE，
∵S△ACD：S△ABC=S△BCD：S△ACD，
∴S△AEF：S△ABC=S四边形BCFE：S△AEF，
∴直线EF为△ABC的黄金分割线；
（3）
连结BE、DE、BD，过点E作MN∥BD分别交AD、AB于M、N，连结BM，则BM为四边形ABCD的一条黄金分割线．理由如下：∵点E为AC的一个黄金分割点（靠近A），
∴S△AED：S△DEC=S△DCE：S△ACD，S△ABE：S△EBC=S△BCE：S△ABC，
∵MN∥BD，
∴S△MEB=S△MED，
∴S四边形BCDM=S四边形BCDE=S△DCE+S△BCE，
S△ABM=S△ADE+S△ABE，
∴S△ABM：S四边形BCDM=S四边形BCDM：S四边形ABCD，
∴BM为四边形ABCD的一条黄金分割线．
点评：本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC=
AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．
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