Question

如图，已知抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于点A（-2，0）、B（4，0），点C是这个抛物线上一点且点C在第一象限，点D是OC的中点，联结BD并延长交AC于点E．
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）求

CE

AE

的值；
（3）当tan∠CAB=2时，求△CDE的面积．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：综合题

分析：（1）将点A、点B的坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法可求出这个抛物线的解析式；
（2）过点O作OH∥AC交BE于点H，根据A、B的坐标可得OA=2，OB=4，AB=6，证明OH=CE，将根据

CE

AE

=

OH

AE

=

BO

BA

，可得出答案；
（3）过点C作CF⊥AB，垂足为点F，设C（x，-x²+2x+8），则F（x，0），根据tan∠CAB=2，解出x的值，得出点C的坐标，求出△ABC的面积，连接OE，设S_△CDE=y，表示出△OCE，△OAE，△OAC的面积，继而可求出y的值．

解答：解：（1）∵抛物线y=-x²+bx+c过点A（-2，0）、B（4，0），
∴

-4-2b+c=0 -16+4b+c=0

，
解得：

b=2 c=8

，
∴y=-x²+2x+8．

（2）过点O作OH∥AC交BE于点H，
∵A（-2，0）、B（4，0），
∴OA=2，OB=4，AB=6，
∵D是OC的中点，
∴CD=OD，
∵OH∥AC，
∴

OH

CE

=

OD

CD

=1，
∴OH=CE，
∴

CE

AE

=

OH

AE

=

BO

BA

，
∴

CE

AE

=

2

3

．

（3）过点C作CF⊥AB，垂足为点F，
设C（x，-x²+2x+8），则F（x，0），
∴AF=x+2，CF=-x²+2x+8，
∵在Rt△AFC中，tan∠CAB=

CF

AF

=2，
∴

-x2+2x+8

x+2

=2，
解得：x=2，
∴C（2，8），
∴S△AOC=

1

2

×2×8=8，
连接OE，设S_△CDE=y，
∵OD=CD，
∴S_△ODE=S_△CDE=y，
∴S_△OCE=2y，
∵

CE

AE

=

2

3

，
∴

S△OCE

S△AOE

=

2

3

，
∴S_△OAE=3y，
∴S_△OAC=5y，
∴5y=8，
∴y=

8

5

．
∴△CDE的面积为

8

5

．

点评：本题考查了二次函数的综合，涉及了待定系数法求函数解析式、三角形的面积及锐角三角函数的定义，综合性较强，解答此类综合性题目，关键是数形结合思想的运用，难度较大．