Question

如图，将矩形ABCD沿CE向上折叠，使点B落在AD边上的点F处．若AE=

2

3

BE，则长AD与宽AB的比值是

 

．

Answer 1

考点：翻折变换（折叠问题）,勾股定理,矩形的性质

专题：数形结合,转化思想

分析：由AE=

2

3

BE，可设AE=2k，则BE=3k，AB=5k．由四边形ABCD是矩形，可得∠A=∠ABC=∠D=90°，CD=AB=5k，AD=BC．由折叠的性质可得∠EFC=∠B=90°，EF=EB=3k，CF=BC，由同角的余角相等，即可得∠DCF=∠AFE．在Rt△AEF中，根据勾股定理求出AF=

EF2-AE2

=

5

k，由cos∠AFE=cos∠DCF得出CF=3

5

k，即AD=3

5

k，进而求解即可．

解答：解：∵AE=

2

3

BE，
∴设AE=2k，则BE=3k，AB=5k．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠ABC=∠D=90°，CD=AB=5k，AD=BC．
∵将矩形ABCD沿CE向上折叠，使点B落在AD边上的点F处，
∴∠EFC=∠B=90°，EF=EB=3k，CF=BC，
∴∠AFE+∠DFC=90°，∠DFC+∠FCD=90°，
∴∠DCF=∠AFE，
∴cos∠AFE=cos∠DCF．
在Rt△AEF中，
∵∠A=90°，AE=2k，EF=3k，
∴AF=

EF2-AE2

=

5

k，
∴

AF

EF

=

CD

CF

，即

5 k

3k

=

5k

CF

，
∴CF=3

5

k，
∴AD=BC=CF=3

5

k，
∴长AD与宽AB的比值是

3 5 k

5k

=

3 5

5

．
故答案为：

3 5

5

．

点评：此题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理以及三角函数的定义．解此题的关键是数形结合思想与转化思想的应用．