Question

6．如图，△ABC是等边三角形，BD是△ABC的角平分线，交边AC于点D，EC⊥BC于点C，CE=BD．求证：△ADE是等边三角形．

Answer 1

分析 先依据等腰三角形三线合一的性质得到AB=AC，∠ADB=90°，然后证明△ABD≌△ACE，依据全等三角形的性质可得到AD=AE，∠EAC=∠DAB=60°，最后依据有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形进行证明即可．

解答 证明：△ABC是等边三角形，BD是△ABC的角平分线，
∴BD⊥AC，AB=AC，∠ABD=30°，∠ACB=60°．
∵EC⊥BC，
∴∠BCE=90°，
∴∠ACE=∠ABD=30°．
在△ABD和△ACE中，$\left\{\begin{array}{l}{BD=CE}\\{∠EAC=∠DAB}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE．
∴AD=AE，∠EAC=∠DAB=60°．
∴△ADE是等边三角形．

点评 本题主要考查的是等边三角形的性质和判定、等腰三角形的性质、全等三角形的性质和判定，熟练掌握相关性质和判定定理是解题的关键．