Question

13．如图，AB∥CD，E为直线BC右侧一点，连接BE、CE，作∠ABE和∠DCE的角平分线BF、CF相交于点F．
（1）请写出∠ABE、∠DCE和∠E的关系式，并证明；
（2）请直接写出∠ABF、∠DCF和∠F的关系式；
（3）根据（1）、（2）的结论，请直接写出∠E和∠F的关系式，并计算当∠F=125°时，∠E的大小．

Answer 1

分析 （1）过E作EG∥AB，根据两直线平行，同旁内角互补，即可得出∠ABE+∠BEC+∠DCE=360°；
（2）过F作FH∥AB，根据两直线平行，内错角相等，即可得出∠BFC=∠ABF+∠DCF；
（3）根据∠ABE和∠DCE的角平分线BF、CF相交于点F，即可得到∠ABE+∠DCE=2（∠ABF+∠DCF），再根据（1）、（2）的结论，可得360°-∠BEC=2∠BFC，进而得到2∠BFC+∠BEC=360°．

解答 解：（1）如图所示，过E作EG∥AB，
∵AB∥CD，
∴GE∥CD，
∴∠ABE+∠BEG=180°，∠DCE+∠CEG=180°，
∴∠ABE+∠BEG+∠DCE+∠CEG=360°，
∴∠ABE+∠BEC+∠DCE=360°，
即∠ABE+∠DCE=360°-∠BEC；

（2）如图所示，过F作FH∥AB，
∵AB∥CD，
∴FH∥CD，
∴∠ABF=∠BFH，∠DCF=∠CFH，
∴∠BFC=∠BFH+∠CFH=∠ABF+∠DCF，
即∠BFC=∠ABF+∠DCF；

（3）∵∠ABE和∠DCE的角平分线BF、CF相交于点F，
∴∠ABE=2∠ABF，∠DCE=2∠DCF，
∴∠ABE+∠DCE=2（∠ABF+∠DCF），
由（1）、（2）的结论，可得360°-∠BEC=2∠BFC，
∴2∠BFC+∠BEC=360°，
∴当∠BFC=125°时，250°+∠BEC=360°，
∴∠BEC=110°．

点评 此题考查了平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．解题的关键是作出GE和FH这两条辅助线．