Question

1．如图，已知点A（-1，0），点B是直线y=x+2上的动点，点C是y轴上的动点，则△ABC的周长的最小值等于（　　）

• A． $\sqrt{10}$
• B． 2+$\sqrt{2}$
• C． 1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\frac{\sqrt{6}}{3}$
• D． 1-$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{5}}{2}$

Answer 1

分析 作点A关于直线y=x+2的对称点A′，作点A关于y轴的对称点A″，连接A′A″交直线y=x+2于B，交y轴于C，根据“两点之间，线段最短”可得出此时△ABC的周长取最小值，由点A的坐标可得出点A′、A″的坐标，利用勾股定理（或两点间的距离公式）即可求出A′A″的长度，此题得解．

解答 解：作点A关于直线y=x+2的对称点A′，作点A关于y轴的对称点A″，连接A′A″交直线y=x+2于B，交y轴于C，如图1所示．
∵点A、A′关于直线y=x+2对称，点A、A″关于y轴对称，
∴AB=A′B，AC=A″C．
∴C_△ABC=AB+BC+CA=A′B+BC+CA″=A′A″（由两点之间，线段最短，可得出此时△ABC的周长最小）．
过点A′作AD⊥x轴于点D，如图2所示．
∵直线的解析式为y=x+2，AA′⊥该直线，
∴∠DAA′=45°，
∴△ADA′为等腰直角三角形，点D为直线y=x+2与x轴的交点，
∴点D（-2，0），AD=1，
∴点A′（-2，1）．
∵点A、A″关于y轴对称，点A（-1，0），
∴点A″（1，0）．
在Rt△A′DA″中，A′D=1，A″D=1-（-2）=3，
∴A′A″=$\sqrt{A′{D}^{2}+A″{D}^{2}}$=$\sqrt{10}$．
故选A．

点评 本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点、轴对称中的最短路线问题以及解直角三角形，找出△ABC的周长取最小值时点B、C的位置是解题的关键．