Question

8．如图，将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使点C落在点A处，点D落在点E处，直线MN交BC于点M，交AD于点N，连接CN．
（1）如图1，求证：CM=CN；
（2）如图1，若△CMN的面积与△CDN的面积比为3：1，求$\frac{MN}{DN}$的值；
（3）如图2，已知点P、Q、T分别是CM、CN、MN上的动点，若AN=3，BM=1，请直接写出PT+QT的最小值．

Answer 1

分析 （1）由折叠的性质可得：∠ANM=∠CNM，由四边形ABCD是矩形，可得∠ANM=∠CMN，则可证得∠CMN=∠CNM，继而可得CM=CN；
（2）首先过点N作NH⊥BC于点H，由△CMN的面积与△CDN的面积比为3：1，易得MC=3ND=3HC，然后设DN=x，由勾股定理，可求得MN的长，继而求得答案，
（3）由（1）得出△CMN是等腰三角形，而TQ+TA最小就是点T到等腰三角形的两腰的距离之和最小就是等腰三角形腰上的高．

解答 （1）证明：由折叠的性质可得：∠ENM=∠DNM，
即∠ENM=∠ENA+∠ANM，
∠DNM=∠DNC+∠CNM，
∵∠ENA=∠DNC
∴∠ANM=∠CNM，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠ANM=∠CMN，
∴∠CMN=∠CNM，
∴CM=CN；

（2）解：过点N作NH⊥BC于点H，
则四边形NHCD是矩形，
∴HC=DN，NH=DC，
∵△CMN的面积与△CDN的面积比为3：1，
∴$\frac{{S}_{△CMN}}{{S}_{△CDN}}\frac{\frac{1}{2}MC×NH}{\frac{1}{2}DN×NH}$$\frac{MC}{ND}=\frac{1}{2}$=3，
∴MC=3ND=3HC，
∴MH=2HC，
设DN=x，则HC=x，MH=2x，
∴CM=3x=CN，
在Rt△CDN中，DC=$\sqrt{C{N}^{2}-D{N}^{2}}$=2$\sqrt{2}$x，
∴HN=2$\sqrt{2}$x，
在Rt△MNH中，MN=$\sqrt{M{H}^{2}+H{N}^{2}}$=2$\sqrt{3}$x，
∴$\frac{MN}{DN}=\frac{2\sqrt{3}x}{x}=2\sqrt{3}$．
如图1，

∵CM=CN
∴△CMN是等腰三角形，
要使PT+QT的最小值，也就是等腰三角形的底边上一点到两腰上距离之和最短，
即：TQ⊥CN，TP⊥CM，
而等腰三角形的底边上一点到两腰的距离之和等于腰上的高，
过点N作NH⊥BC，
∴PT+QT的最小值就是NH=AB，
由折叠得，AM=CM=AN=3，
∴BM=AN=1
在Rt△ABM中，根据勾股定理得，AB=$\sqrt{A{M}^{2}-B{M}^{2}}$=2$\sqrt{2}$．
∴NH=2$\sqrt{2}$，
即：PT+QT的最小值为2$\sqrt{2}$．

点评 此题考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理以及三角形的面积．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．