Question

18．如图1，⊙O是△ABC的外接圆，点E在弧BC上，连接AE、BE．在线段AE上取一点D，连接BD．∠BDE=90°-$\frac{1}{2}$∠ACB
（1）求证：BE=DE；
（2）如图2，若BD平分∠ABC时，求证：AE平分∠BAC；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接CD，当圆心O在线段BD上，$\frac{OD}{BO}$=$\frac{1}{3}$时，求$\frac{DC}{BE}$的值．

Answer 1

分析 （1）利用三角形的外角得出∠DBE=∠DBC+∠CBE，结合三角形的内角和得出∠ABC+∠BAC=180°-∠ACB，用已知条件代换即可得出∠DBE=∠BDE，即可；
（2）有角平分线得出∠ABD=$\frac{1}{2}$∠ABC，而∠BDE=90°-$\frac{1}{2}$∠ACB，代换即可得出∠BAE=∠CAE即可；
（3）先判断出DF是线段AC的垂直平分线，即AD=CD，再用相似三角形得出的比例式得出$\frac{AD}{DE}=\frac{DF}{BD}$，由已知条件得出$\frac{OD}{DF}=\frac{1}{2}$，代换即可．

解答 解：（1）∵∠CBE=∠CAE，
∴∠DBE=∠DBC+∠CBE
=∠DBC+∠CAE
=∠ABC-∠ABD+∠BAC-∠BAD
=∠ABC+∠BAC-（∠ABD+BAD）
=∠ABC+∠BAC-∠BDE，
∵∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°，
∴∠ABC+∠BAC=180°-∠ACB，
∴∠DBE=180°-∠ACB-∠BDE，
∵∠BDE=90°-$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴2∠BDE=180°-∠ACB，
∴∠DBE=180°-∠ACB-∠BDE=2∠BDE-∠BDE=∠BDE，
∴BE=DE，
（2）∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=$\frac{1}{2}$∠ABC，
∵∠BDE=90°-$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠BDE=∠ABD+∠BAE=$\frac{1}{2}$∠ABC+∠BAE=90°-$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠BAE=90°-$\frac{1}{2}$（ACB+∠ABC）=90°-$\frac{1}{2}$（180°-∠BAC）=$\frac{1}{2}$∠BAC，
∵∠BAC=∠BAE+∠CAE，
∴∠BAE=∠CAE，
∴AE平分∠BAC；
（3）如图，

延长BD交圆于点F，
∵⊙O是△ABC的外接圆，且BF平分∠ABC，
∴BF是线段AC的垂直平分线，
∴AD=CD，
∵∠DAF=∠DBE=∠BDE=∠ADF，
∴△ADF∽△EDB
∴$\frac{AD}{DE}=\frac{DF}{BD}$，
∵$\frac{OD}{BO}$=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{OD}{OF}=\frac{1}{3}$，
∴$\frac{OD}{DF}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{DF}{BD}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{AD}{DE}=\frac{1}{2}$，
∵AD=CD，DE=BE，
∴$\frac{DC}{BE}$=$\frac{1}{2}$．

点评 此题是圆的综合题，主要考查了三角形的外角的性质，三角形的内角和，线段的垂直平分线的判定和性质，角平分线的性质，解本题的关键是判断出BF是线段AC的垂直平分线，找出角之间的关系是解本题的难点．