Question

如图，点B的坐标为（10，0），点A是OB上的一个动点，且OA＜AB，分别以OA、AB为边在x轴上方作等边三角形OAC和等边三角形ABD，连接CD，E为CD的中点，双曲线y=

k

x

（x＞0）经过点E，若AE=

79

2

时，求k的值．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：代数几何综合题,待定系数法

分析：作EH⊥OB于H点，则EH为梯形CMND的中位线，根据梯形中位线的性质得EH=

1

2

（CM+DN）=

5 3

2

，HM=

1

2

MN=

1

2

（ON-OM）=

5

2

，得到AH=

5

2

-

1

2

t或

1

2

t-

5

2

，
再利用勾股定理得AE²=AH²+EH²，即（

5 3

2

）²+（

5-t

2

）²=（

79

2

）²，解得t₁=3，t₂=7，然后分别确定E点坐标，再代入反比例函数解析式可得到k的值．，

解答：解：作EH⊥OB于H点，如图，
∵E为CD的中点，
∴EH为梯形CMND的中位线，
∴EH=

1

2

（CM+DN）=

1

2

[

3

2

t+

3

2

（10-t）]=

5 3

2

，HM=

1

2

MN=

1

2

（ON-OM）=

1

2

[t+

1

2

（10-t）-

1

2

t]=

5

2

，
∴AH=

5

2

-

1

2

t或

1

2

t-

5

2

，
在Rt△AEH中，AE²=EH²+AH²，
（

5 3

2

）²+（

5-t

2

）²=（

79

2

）²，
∴解得：t₁=3，t₂=7，
当t=3时，OH=

5

2

+

1

2

t=4，
∴E点坐标为（4，

5 3

2

），
把E（4，

5 3

2

）代入y=

k

x

得k=4×

5 3

2

=10

3

；
当t=7时，OH=

5

2

+

t

2

=6，
∴E点坐标为（6，

5 3

2

），
把E（6，

5 3

2

）代入y=

k

x

得k=6×

5 3

2

=15

3

；
综上所述：k的值为10

3

或15

3

．

点评：本题考查了反比例函数的综合题：反比例函数图象上点的坐标满足其函数解析式，运用待定系数法求函数的解析式等知识，用未知数表示出EH，AH的长是解题关键．