Question

5．如图，边长为4cm的等边△ABC中，点P、Q分别是边AB、BC上的动点（端点除外），点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，连接AQ，CP交于点M，在点P，Q运动的过程中．
（1）求证：△ABQ≌△CAP；
（2）∠QMC的大小是否发生变化？若无变化，求∠QMC的度数；若有变化，请说明理由；
（3）连接PQ，当点P，Q运动多少秒时，△PBQ是直角三角形？

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形的性质、三角形全等的判定定理证明；
（2）根据全等三角形的性质得到∠BAQ=∠ACP，根据三角形的外角的性质解答；
（3）分∠PQB=90°和∠PBQ=90°两种情况，根据直角三角形的性质计算即可．

解答 （1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABQ=∠CAP=60°，AB=CA，
∵点P、Q的速度相同，
∴AP=BQ，
在△ABQ和△CAP中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CA}\\{∠ABQ=∠CAP}\\{AP=BQ}\end{array}\right.$，
∴△ABQ≌△CAP；
（2）解：∠QMC的大小不发生变化，
∵△ABQ≌△CAP，
∴∠BAQ=∠ACP，
∴∠QMC=∠QAC+∠ACP=∠QAC+∠BAQ=60°；
（3）解：设点P，Q运动x秒时，△PBQ是直角三角形，
则AP=BQ=x，PB=（4-x），
当∠PQB=90°时，
∵∠B=60°，
∴BP=2BQ，即4-x=2x，
解得，x=$\frac{4}{3}$，
当∠PBQ=90°时，
∵∠B=60°，
∴BQ=2BP，即2（4-x）=x，
解得，x=$\frac{8}{3}$，
∴当点P，Q运动$\frac{4}{3}$秒或$\frac{8}{3}$秒时，△PBQ是直角三角形．

点评 本题考查的是全等三角形的判定、直径三角形的性质，掌握等边三角形的性质、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．