Question

17．如图，△ABC的内切圆O与各边分别相切于点D，E，F，那么下列叙述错误的是（　　）

• A． 点O是△ABC的三条角平分线的交点
• B． 点O是△DEF的三条中线的交点
• C． 点O是△DEF的三条边的垂直平分线的交点
• D． △DEF一定是锐角三角形

Answer 1

分析 根据切线的性质得到OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，根据同圆的半径相等得到OD=OE=OF，于是得到点O是△ABC的三条角平分线的交点，根据外接圆的圆心的性质得到点O是△DEF的三条边的垂直平分线的交点，根据四边形的内角和和圆周角定理得到DEF是锐角三角形．

解答 解：连接OD，OE，OF，
∵△ABC的内切圆O与各边分别相切于点D，E，F，
∴OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，
∵OD=OE=OF，
∴点O是△ABC的三条角平分线的交点，
∵⊙O是△DEF的外接圆，
∴点O是△DEF的三条边的垂直平分线的交点，
∵∠ADO=∠AFO=90°，
∴∠A+∠DOF=180°，
∴∠DOF=180°-∠A，
∴∠DEF=$\frac{1}{2}$∠DOF=90°-$\frac{1}{2}∠$A，
∴∠DEF是锐角，同理∠EDF与∠DFE是锐角，
∴△DEF是锐角三角形，
故选B．

点评 此题主要考查了三角形的内心与外心的性质；三角形的内心：三条角平分线的交点，到三角形三边的距离相等；三角形的外心：三边中垂线的交点，到三角形三个顶点的距离相等．