如图.在矩形OABC中.OA=3.OC=5.分别以OA.OC所在直线为x轴.y轴.建立平面直角坐标系.D是边CB上的一个动点.反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象经过点D且与边BA交于点E.连接DE．(1)连接OE.若△EOA的面积为2.则k=4,(2)连接CA.DE与CA是否平行?请说明理由,(3)是否存在点D.使得点B关于DE的对称点在OC上?若存在.求出点D的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

15．如图，在矩形OABC中，OA=3，OC=5，分别以OA、OC所在直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，D是边CB上的一个动点（不与C、B重合），反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0）的图象经过点D且与边BA交于点E，连接DE．
（1）连接OE，若△EOA的面积为2，则k=4；
（2）连接CA、DE与CA是否平行？请说明理由；
（3）是否存在点D，使得点B关于DE的对称点在OC上？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

分析（1）连接OE，根据反比例函数k的几何意义，即可求出k的值；
（2）连接AC，设D（x，5），E（3，$\frac{5}{3}x$），则BD=3-x，BE=5-$\frac{5}{3}x$，得到$\frac{BD}{BE}=\frac{BC}{AB}$，证明△BDE∽△BCA，进而证得DE∥AC．
（3）假设存在点D满足条件．设D（x，5），E（3，$\frac{5}{3}x$），则CD=x，BD=3-x，BE=5-$\frac{5}{3}x$，AE=$\frac{5}{3}x$．作EF⊥OC，垂足为F，易得，△B′CD∽△EFB′，然后根据对称性求出B′E、B′D的表达式，列出$\frac{B'E}{B'D}=\frac{B'F}{CD}$，即$\frac{5-\frac{5}{3}x}{3-x}$=$\frac{B′F}{x}$，从而求出（5-$\frac{10}{3}x$）²+x²=（3-x）²，即可求出x值，从而得到D点坐标．

解答解：（1）连接OE，如，图1，
∵Rt△AOE的面积为2，
∴k=2×2=4．
（2）连接AC，如图1，设D（x，5），E（3，$\frac{5}{3}x$），则BD=3-x，BE=5-$\frac{5}{3}x$，
$\frac{BD}{BE}=\frac{3-x}{5-\frac{5}{3}x}$=$\frac{3}{5}$，$\frac{BC}{AB}=\frac{3}{5}$
∴$\frac{BD}{BE}=\frac{BC}{AB}$，
又∵∠B=∠B，
∴△BDE∽△BCA，
∴∠BED=∠BAC，
∴DE∥AC．
（3）假设存在点D满足条件．设D（x，5），E（3，$\frac{5}{3}x$），则CD=x，
BD=3-x，BE=5-$\frac{5}{3}x$，AE=$\frac{5}{3}x$．
作EF⊥OC，垂足为F，如图2，
易证△B′CD∽△EFB′，
∴$\frac{B'E}{B'D}=\frac{B'F}{CD}$，即$\frac{5-\frac{5}{3}x}{3-x}$=$\frac{B′F}{x}$，
∴B′F=$\frac{5}{3}x$，
∴OB′=B′F+OF=B′F+AE=$\frac{5}{3}x$+$\frac{5}{3}x$=$\frac{10}{3}x$，
∴CB′=OC-OB′=5-$\frac{10}{3}x$，
在Rt△B′CD中，CB′=5-$\frac{10}{3}x$，CD=x，B′D=BD=3-x，
由勾股定理得，CB′²+CD²=B′D²，
（5-$\frac{10}{3}x$）²+x²=（3-x）²，
解这个方程得，x₁=1.5（舍去），x₂=0.96，
∴满足条件的点D存在，D的坐标为D（0.96，5）．