Question

7．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为2a，2b，点A，D，G在y轴上，坐标原点O为AD的中点，抛物线y=mx²过C，F两点，连接FD并延长交抛物线于点M．
（1）若a=1，求m和b的值；
（2）求$\frac{b}{a}$的值；
（3）判断以FM为直径的圆与AB所在直线的位置关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由a=1，根据正方形的性质及已知条件得出C（2，1）．将C点坐标代入y=mx²，求出m=$\frac{1}{4}$，则抛物线解析式为y=$\frac{1}{4}$x²，再将F（2b，2b+1）代入y=$\frac{1}{4}$x²，即可求出b的值；
（2）由正方形ABCD的边长为2a，坐标原点O为AD的中点，得出C（2a，a）．将C点坐标代入y=mx²，求出m=$\frac{1}{4a}$，则抛物线解析式为y=$\frac{1}{4a}$x²，再将F（2b，2b+a）代入y=$\frac{1}{4a}$x²，整理得出方程b²-2ab-a²=0，把a看作常数，利用求根公式得出b=（1±$\sqrt{2}$）a（负值舍去），那么$\frac{b}{a}$=1+$\sqrt{2}$；
（3）先利用待定系数法求出直线FD的解析式为y=x+a．再求出M点坐标为（2a-2$\sqrt{2}$a，3a-2$\sqrt{2}$a）．又F（2a+2$\sqrt{2}$a，3a+2$\sqrt{2}$a），利用中点坐标公式得到以FM为直径的圆的圆心O′的坐标为（2a，3a），再求出O′到直线AB（y=-a）的距离d的值，以FM为直径的圆的半径r的值，由d=r，根据直线与圆的位置关系可得以FM为直径的圆与AB所在直线相切．

解答 解：（1）∵a=1，
∴正方形ABCD的边长为2，
∵坐标原点O为AD的中点，
∴C（2，1）．
∵抛物线y=mx²过C点，
∴1=4m，解得m=$\frac{1}{4}$，
∴抛物线解析式为y=$\frac{1}{4}$x²，
将F（2b，2b+1）代入y=$\frac{1}{4}$x²，
得2b+1=$\frac{1}{4}$×（2b）²，b=1±$\sqrt{2}$（负值舍去）．
故m=$\frac{1}{4}$，b=1+$\sqrt{2}$；

（2）∵正方形ABCD的边长为2a，坐标原点O为AD的中点，
∴C（2a，a）．
∵抛物线y=mx²过C点，
∴a=m•4a²，解得m=$\frac{1}{4a}$，
∴抛物线解析式为y=$\frac{1}{4a}$x²，
将F（2b，2b+a）代入y=$\frac{1}{4a}$x²，
得2b+a=$\frac{1}{4a}$×（2b）²，
整理得b²-2ab-a²=0，
解得b=（1±$\sqrt{2}$）a（负值舍去），
∴$\frac{b}{a}$=1+$\sqrt{2}$；

（3）以FM为直径的圆与AB所在直线相切．理由如下：
∵D（0，a），
∴可设直线FD的解析式为y=kx+a，
∵F（2b，2b+a），
∴2b+a=k•2b+a，解得k=1，
∴直线FD的解析式为y=x+a．
将y=x+a代入y=$\frac{1}{4a}$x²，
得x+a=$\frac{1}{4a}$x²，解得x=2a±2$\sqrt{2}$a（正值舍去），
∴M点坐标为（2a-2$\sqrt{2}$a，3a-2$\sqrt{2}$a）．
∵F（2b，2b+a），b=（1+$\sqrt{2}$）a，
∴F（2a+2$\sqrt{2}$a，3a+2$\sqrt{2}$a），
∴以FM为直径的圆的圆心O′的坐标为（2a，3a），
∴O′到直线AB（y=-a）的距离d=3a-（-a）=4a，
∵以FM为直径的圆的半径r=O′F=$\sqrt{（2a+2\sqrt{2}a-2a）^{2}+（3a+2\sqrt{2}a-3a）^{2}}$=4a，
∴d=r，
∴以FM为直径的圆与AB所在直线相切．

点评 本题是二次函数的综合题型，其中涉及到正方形的性质，待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，一元二次方程的求根公式，直线与抛物线交点坐标的求法，直线与圆的位置关系．综合性较强，难度适中．正确求出抛物线的解析式是解题的关键．