如图.抛物线y=$\frac{1}{4}$x2-$\frac{3}{2}$ x-4与x轴交于A.B两点.与y轴交于点C.连接BC.以BC为一边.点O为对称中心作菱形BDEC.点P是x轴上的一个动点.设点P的坐标为(m.0).过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q．(1)求点A.B.C的坐标．(2)当点P在线段OB上运动时.直线l分别交BD于点M.求线段MQ长度的最大值．(3)当点P在线� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

5．

如图，抛物线y=$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$ x-4与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，连接BC，以BC为一边，点O为对称中心作菱形BDEC，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q．
（1）求点A，B，C的坐标．
（2）当点P在线段OB上运动时，直线l分别交BD于点M，求线段MQ长度的最大值．
（3）当点P在线段EB上运动时，是否存在点Q，使△BDQ为直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
（4）当点P在线段EB上运动时，直线l与菱形BDEC的某一边交于点S，是否存在 m 值，使得点C、Q、S、D为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出m值，不存在，说明理由．

分析（1）根据坐标轴上点的特点，可求点A，B，C的坐标．
（2）由菱形的对称性可知，点D的坐标，根据待定系数法可求直线BD的解析式，根据题意可得关于m的方程，求得m的值；
（3）分DQ⊥BD，BQ⊥BD两种情况讨论可求点Q的坐标，；
（4）存在，如图2，当点P在线段OB上时，直线l分别交BD交于点S，根据平行四边形的性质得到SQ∥CD，SQ=CD，由点P的坐标为（m，0），得到点S的坐标为（m，-$\frac{1}{2}$m+4），点Q的坐标为（m，$\frac{1}{4}$m²-$\frac{3}{2}$m-4），列方程即可得到结论．如图3，点P在线段OE上时，直线l分别交CE交于点S，列方程即可得到结论．

解答解：（1）当y=0时，$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$ x-4=0，解得x₁=-2，x₂=8，
∵点B在点A的右侧，
∴点A的坐标为（-2，0），点B的坐标为（8，0）．
当x=0时，y=-4，
∴点C的坐标为（0，-4）；

（2）由菱形的对称性可知，点D的坐标为（0，4）．
设直线BD的解析式为y=kx+b，则$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{8k+b=0}\end{array}\right.$，
解得k=-$\frac{1}{2}$，b=4．
∴直线BD的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+4．
∵l⊥x轴，
∴点M的坐标为（m，-$\frac{1}{2}$m+4），点Q的坐标为（m，$\frac{1}{4}$m²-$\frac{3}{2}$m-4）．
如图，线段MQ长度=-$\frac{1}{2}$m+4-（$\frac{1}{4}$m²-$\frac{3}{2}$m-4）=-$\frac{1}{4}$m²+m+8，
即线段MQ长度=-$\frac{1}{4}$（m-2）²+3，
当m=2时，线段MQ长度的最大值为3；

（3）抛物线上存在两个这样的点Q，分别是Q₁（-2，0），Q₂（6，-4）．
若△BDQ为直角三角形，可能有三种情形，如答图2所示：

①如答图2，以点Q为直角顶点．
此时以BD为直径作圆，圆与抛物线的交点，即为所求之Q点．
∵P在线段EB上运动，
∴-8≤x_Q≤8，而由图形可见，在此范围内，圆与抛物线并无交点，
故此种情形不存在．
②以点D为直角顶点．
连接AD，∵OA=2，OD=4，OB=8，AB=10，
由勾股定理得：AD=2$\sqrt{5}$，BD=4$\sqrt{5}$，
∵AD²+BD²=AB²，
∴△ABD为直角三角形，即点A为所求的点Q．
∴Q₁（-2，0）；
③以点B为直角顶点．
如图，设Q₂点坐标为（x，y），过点Q₂作Q₂K⊥x轴于点K，则Q₂K=-y，OK=x，BK=8-x．
易证△Q₂KB∽△BOD，
∴$\frac{{Q}_{2}K}{OB}$=$\frac{BK}{OD}$，即$\frac{-y}{8}$=$\frac{8-k}{4}$，整理得：y=2x-16．
∵点Q在抛物线上，∴y=$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x-4．
∴$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x-4=2x-16，解得x=6或x=8，
当x=8时，点Q₂与点B重合，故舍去；
当x=6时，y=-4，
∴Q₂（6，-4）．
综上所述，符合题意的点Q的坐标为（-2，0）或（6，-4）；

（4）存在，如图2，当点P在线段OB上时，直线l分别交BD交于点S，
∵四边形DCQS是平行四边形，
∴SQ∥CD，SQ=CD，
∵点P的坐标为（m，0），
∴点S的坐标为（m，-$\frac{1}{2}$m+4），点Q的坐标为（m，$\frac{1}{4}$m²-$\frac{3}{2}$m-4），
∴-$\frac{1}{2}$m+4-（$\frac{1}{4}$m²-$\frac{3}{2}$m-4）=8，
∴m=4，m=0（不合题意，舍去），
如图3，点P在线段OE上时，直线l分别交CE交于点S，
∵四边形DCQS是平行四边形，
∴SQ∥CD，SQ=CD，
∵直线CE的解析式为y=-$\frac{1}{2}$m-4，
∵点P的坐标为（m，0），
∴点S的坐标为（m，-$\frac{1}{2}$m-4），点Q的坐标为（m，$\frac{1}{4}$m²-$\frac{3}{2}$m-4），
∴$\frac{1}{4}$m²-$\frac{3}{2}$m-4-（-$\frac{1}{2}$m-4）=8，
∴m=-4，m=8（不合题意，舍去），
∴当 m=±4时，点C、Q、S、D为顶点的四边形是平行四边形．