Question

【题目】“阅读素养的培养是构建核心素养的重要基础，重庆十一中学校以‘大阅读’特色课程实施为突破口，着力提升学生的核心素养．”全校师生积极响应和配合，开展各种活动丰富其课余生活．在数学兴趣小组中，同学们从书上认识了很多有趣的数．其中有一个“和平数”引起了同学们的兴趣．描述如下：一个四位数，记千位上和百位上的数字之和为x，十位上和个位上的数字之和为y，如果，那么称这个四位数为“和平数”．

例如：1423，，，因为，所以1423是“和平数”．

（1）直接写出：最小的“和平数”是________，最大的“和平数”是__________；

（2）求同时满足下列条件的所有“和平数”：

①个位上的数字是千位上的数字的两倍；

②百位上的数字与十位上的数字之和是12的倍数；

（3）将一个“和平数”的个位上与十位上的数字交换位置，同时，将百位上与千位上的数字交换位置，称交换前后这两个“和平数”为“相关和平数”．

例如：1423于4132为“相关和平数”

求证：任意的两个“相关和平数”之和是1111的倍数．

Answer 1

【答案】（1）1001；9999；（2）2754和4848；（3）见解析

【解析】

（1）根据“和平数”的定义可直接得出最小的“和平数”是1001，最大的“和平数”是9999；

（2）设这个“和平数”的千位数字是a，百位数字是m，十位数字是n，其中a，m，n均是正整数且，，，则个位数字是2a，又由得到a的可能取值为1，2，3，4；根据百位上的数字与十位上的数字之和是12的倍数，可知m+n=12，得到，由a的可能取值可得m的取值，即可求得符合条件的“和平数”；

（3）设任意一个“和平数”千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，则它的“相关和平数”千位数字为b，百位数字为a，十位数字为d，个位数字为c，计算它们的和，根据“和平数”的定义可知a+b=c+d，因式分解可得原式= 1111(a+b)，即可证明．

解：（1）根据“和平数”的定义可得：

最小的“和平数”1001，最大的“和平数”9999，

故答案为1001；9999；

（2）设这个“和平数”的千位数字是a，百位数字是m，十位数字是n，其中a，m，n均是正整数且，，，

则个位数字是2a，

又∵，

∴a的可能取值为1，2，3，4；

∵百位上的数字与十位上的数字之和是12的倍数，

∴m+n=0或m+n=12，

∵“和平数”中a+m=n+2a，

当m+n=0时，即m=n=0，则此时a=0，不符合题意，

∴m+n=12，

∴a+m=12m+2a，解得：，

∵a的可能取值为1，2，3，4；且m为正整数，

∴m的可能取值为7，8；

当a=2时，m=7，这个“和平数”是2754；

当a=4时，m=8，这个“和平数”是4848；

综上所述，满足条件的“和平数”是2754和4848；

（3）设任意一个“和平数”千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，则它的“相关和平数”千位数字为b，百位数字为a，十位数字为d，个位数字为c，

∴

由“和平数”的定义可知：a+b=c+d，

∴原式

，

∵a，b为正整数，则能被1111整除，

即能被1111整除，

∴任意的两个“相关和平数”之和是1111的倍数．