Question

8．“奔跑吧，兄弟！”节目组，预设计一个新的游戏：“奔跑”路线需经A、B、C、D四地．如图，其中A、B、C三地在同一直线上，D地在A地北偏东30°方向、在C地北偏西45°方向．C地在A地北偏东75°方向．且BC=CD=20m．
（1）证明三角形BCD是等边三角形；
（2）从A地跑到D地的路程大约是多少？（最后结果保留整数，参考数据：sin15°=0.65，cos15°=0.97，tan15°=0.27，$\sqrt{2}$≈1.4）

Answer 1

分析 （1）求出∠DCA的度数，再判断出BC=CD，据此即可判断出△BCD是等边三角形．
（2）过点B作BE垂直于AD，垂足为E，求出∠DAC的度数，判断出△BCD是等边三角形，再利用三角函数求出AB的长，从而得到AB+BC+CD的长．

解答 （1）证明：由题意可知∠DCA=180°-75°-45°=60°，
∵BC=CD，
∴△BCD是等边三角形．
（2）解：过点B作BE垂直于AD，垂足为E，
由题意可知∠DAC=75°-30°=45°，
∵△BCD是等边三角形，
∴∠DBC=60° BD=BC=CD=20m，
∴∠ADB=∠DBC-∠DAC=15°，
∴BE=sin15°BD≈0.26×20≈5m，
∴AB=$\frac{BE}{sin45°}$=5$\sqrt{2}$≈1.4×5≈7m，
∴AB+BC+CD≈7+20+20≈47m．
答：从A地跑到D地的路程47m．

点评 本题考查了解直角三角形的应用--方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．