Question

19．已知：在DABC中，∠DBC=∠ACB，BC=2AC，BD=BC，CD交线段AB于点E．
（1）如图1，当∠ACB=90°时，求证：DE=2CE；
（2）当∠ACB=120°时，
①如图2，猜想线段DE、CE之间的数量关系并证明你的猜想；
②如图3，点F是BC边的中点，连接DF，DF与AB交于G，求$\frac{DG}{GF}$的值．

Answer 1

分析 （1）如图1，易证△DEB∽△CEA，然后只需运用相似三角形的性质就可解决问题；
（2）①过点B作BH⊥DC于H，如图2．根据等腰三角形的性质可得∠D=∠BCD=30°，DH=CH，从而可得BH=AC，∠BHE=∠ACE，进而可得△BHE≌△ACE，则有HE=CE，即可证到DE=3EC；②延长DF到点N，使得FN=DF，连接NB、NC，如图3，易证四边形DCNB是平行四边形，从而可得DC∥BN，DC=BN，即可得到△DGE∽△NGB，$\frac{DE}{BN}$=$\frac{3EC}{4EC}$=$\frac{3}{4}$，从而可得$\frac{DG}{NG}$=$\frac{DE}{NB}$=$\frac{3}{4}$．设DG=3k，则有NG=4k，DN=7k，DF=$\frac{1}{2}$DN=$\frac{7k}{2}$，GF=$\frac{k}{2}$，就可得到$\frac{DG}{GF}$的值．

解答 解：（1）如图1，
∵∠ACB=90°，∠DBC=∠ACB，
∴∠DBC=90°，
∴∠DBC+∠ACB=180°，
∴DB∥AC，
∴△DEB∽△CEA，
∴$\frac{DE}{EC}$=$\frac{DB}{CA}$．
∵BD=BC=2AC，
∴DE=2EC；

（2）猜想：DE=3CE．
证明：过点B作BH⊥DC于H，如图2．
又∵BD=BC，∠DBC=∠ACB=120°，
∴∠D=∠BCD=30°，DH=CH，
∴DB=2BH，∠ACE=90°，
∴BH=AC，∠BHE=∠ACE．
在△BHE和△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BHE=∠ACE}\\{∠BEH=∠AEC}\\{BH=AC}\end{array}\right.$，
∴△BHE≌△ACE，
∴HE=CE，
∴DH=HC=2EC，
∴DE=DH+HE=2EC+EC=3EC；

（3）延长DF到点N，使得FN=DF，连接NB、NC，如图3，
∵BF=CF，FN=DF，
∴四边形DCNB是平行四边形，
∴DC∥BN，DC=BN，
∴△DGE∽△NGB，$\frac{DE}{BN}$=$\frac{3EC}{4EC}$=$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{DG}{NG}$=$\frac{DE}{NB}$=$\frac{3}{4}$．
设DG=3k，则有NG=4k，DN=7k，
∴DF=$\frac{1}{2}$DN=$\frac{7k}{2}$，
∴GF=DF-DG=$\frac{7k}{2}$-3k=$\frac{k}{2}$，
∴$\frac{DG}{GF}$=$\frac{3k}{\frac{k}{2}}$=6．

点评 本题主要考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、30°角所对的直角边等于斜边的一半等知识，倍长中线构造平行四边形是解决（2）②小题的关键．