Question

14．如图，正方形ABCD的边长为2a，以BC为直径在正方形内作半圆O，H是该半圆上一点，过点H作半圆的切线交AB、CD于E、F．
（1）当点H在半圆上移动时，切线EF在AB、CD上的两个交点E、F也分别在AB、CD上移动（E与A不重合，F与D不重合），请问四边形AEFD的周长是否发生变化？请说明理由；
（2）若∠BEF=120°，请求图中用a表示的阴影部分的面积为s．（友情提示：直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半）

Answer 1

分析 （1）根据切线长定理证明周长为定值；
（2）连接OH，根据切线长定理得出∠BEO=∠OEF=60°，∠CFO=∠EFO=30°，得出BE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，CF=$\sqrt{3}$a，OE=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a，OF=2a，∠EOF=90°，然后根据S_阴影=S-S_扇形=$\frac{1}{2}$×OE×OF-$\frac{90π×{a}^{2}}{360}$即可求得．

解答 解：（1）∵BE、EH切半圆O于B、H，
∴BE=EH，
同理，CF=FH，
∴四边形AEFD的周长=AD+AE+EF+FD=AD+（AE+BE）+（DF+CF）=AD+AB+DC=2a+2a+2a=6a，
∴四边形AEFD的周长始终是6a，没有发生变化．
（2）连接OH，
∵EF切半圆O于H，
∴OH⊥EF，BO=CO=OH=a，
∵∠BEF=120°，AB∥CD，
∴∠EFC=60°
∴∠BEO=∠OEF=60°，∠CFO=∠EFO=30°，
∴BE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，CF=$\sqrt{3}$a，OE=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a，OF=2a，
∵∠OEF=60°，∠EFO=30°，
∴∠EOF=90°，
∴在RT△EOF中，S=$\frac{1}{2}$×OE×OF=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a²，
∴S_阴影=S-S_扇形=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a²-$\frac{90π×{a}^{2}}{360}$=$\frac{8\sqrt{3}-3π}{12}$a²．

点评 此题是圆的综合题，考查了切线的性质、切线长定理、直角三角形的判定、直角三角形的面积、扇形的面积等知识点，综合性较强，难度偏上．