Question

3．如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠A=120°，点P在对角线BD上，PE⊥AB于点E，PF⊥AD于点F，则PE+PF=2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 先求出∠ABG=30°，得出PE=$\frac{1}{2}$PB，AG=$\frac{1}{2}$AB=2，同理得出PF=$\frac{1}{2}$PD，求出PE+PF=$\frac{1}{2}$BD，再根据勾股定理求出BG，即可得出结果．

解答 解：作AG⊥BD于G，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=120°，
∴AB=AD，∠ABC=60°，∠ABG=30°，
∴PE=$\frac{1}{2}$PB，AG=$\frac{1}{2}$AB=2，
同理：PF=$\frac{1}{2}$PD，
∴PE+PF=$\frac{1}{2}$（PB+PD）=$\frac{1}{2}$BD，
∵AG⊥BD，
∴BG=DG=$\frac{1}{2}$BD，
∵BG=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴BD=4$\sqrt{3}$，
∴PE+PF=2$\sqrt{3}$；
故答案为：2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了菱形的性质、勾股定理、含30°角的直角三角形的性质；运用含30°角的直角三角形的性质得出线段之间的关系是解决问题的关键．