Question

已知：如图，△ABC≌△CAD．
（1）求证：四边形ABCD为平行四边形；
（2）若AE、CF分别平分∠CAD、∠ACB，且∠CFB=∠B，求证：四边形AECF为菱形．

Answer 1

考点：菱形的判定,全等三角形的性质,平行四边形的判定

专题：证明题

分析：（1）根据全等三角形的性质得到三组对应边相等，然后利用两组对边相等的四边形是平行四边形判定即可；
（2）利用AE、CF分别平分∠CAD、∠ACB，且∠CFB=∠B得到四边形AECF的四条边相等，然后利用四条边都相等的四边形是菱形判定菱形即可．

解答：证明：（1）∵△ABC≌△CAD，
∴AB=AC，AC=CD，BC=AD． 
∴AB=CD．
∴四边形ABCD为平行四边形．
（2）∵由（1）知，AB=AC，
∴∠ACB=∠B．
又∵∠CFB=∠B，
∴∠ACB=∠CFB．
∴∠BCF=∠CAB，
又∵∠ACF=∠BCF，
∴∠ACF=∠CAF．
∴AF=CF． 
∵∠CFB=∠B，
∴CF=CB．
∴AF=CF=CB． 
同理AE=CE=AD．
又∵CB=AD，
∴AF=CF=AE=CE．
∴四边形AECF为菱形．

点评：本题考查了全等三角形的性质、菱形的判定等知识，解题的关键是了解有关特殊四边形的判定定理，难度不大．