Question

6．自从湖南与欧洲的“湘欧快线”开通后，我省与欧洲各国经贸往来日益频繁，某欧洲客商准备在湖南采购一批特色商品，经调查，用16000元采购A型商品的件数是用7500元采购B型商品的件数的2倍，一件A型商品的进价比一件B型商品的进价多10元．
（1）求一件A，B型商品的进价分别为多少元？
（2）若该欧洲客商购进A，B型商品共250件进行试销，其中A型商品的件数不大于B型的件数，且不小于80件．已知A型商品的售价为240元/件，B型商品的售价为220元/件，且全部售出．设购进A型商品m件，求该客商销售这批商品的利润v与m之间的函数关系式，并写出m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，欧洲客商决定在试销活动中每售出一件A型商品，就从一件A型商品的利润中捐献慈善资金a元，求该客商售完所有商品并捐献慈善资金后获得的最大收益．

Answer 1

分析 （1）设一件B型商品的进价为x元，则一件A型商品的进价为（x+10）元．根据16000元采购A型商品的件数是用7500元采购B型商品的件数的2倍，列出方程即可解决问题；
（2）根据总利润=两种商品的利润之和，列出式子即可解决问题；
（3）设利润为w元．则w=（80-a）m+70（250-m）=（10-a）m+17500，分三种情形讨论即可解决问题．

解答 解：（1）设一件B型商品的进价为x元，则一件A型商品的进价为（x+10）元．
由题意：$\frac{16000}{x+10}$=$\frac{7500}{x}$×2，
解得x=150，
经检验x=150是分式方程的解，
答：一件B型商品的进价为150元，则一件A型商品的进价为160元．

（2）因为客商购进A型商品m件，所以客商购进B型商品（250-m）件．
由题意：v=80m+70（250-m）=10m+17500，
∵80≤m≤250-m，
∴80≤m≤125，

（3）设利润为w元．则w=（80-a）m+70（250-m）=（10-a）m+17500，
①当10-a＞0时，w随m的增大而增大，所以m=125时，最大利润为（18750-125a）元．
②当10-a=0时，最大利润为17500元．
③当10-a＜0时，w随m的增大而减小，所以m=80时，最大利润为（18300-80a）元．

点评 本题考查分式方程的应用、一次函数的应用等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程或一次函数解决问题，属于中考常考题型．