Question

16．在△ABC中，高AD、BE所在直线交于H点，若BH=AC，则∠ABC=45°或135°．

Answer 1

分析 根据题意画出两个图形，证△HBD≌△CAD，推出AD=DB，推出∠DAB=∠DBA，根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质求出∠ABD，即可求出答案．

解答 解：分为两种情况：
①如图1，

∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠ADB=∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠HBD+∠C=∠CAD+∠C=90°，
∴∠HBD=∠CAD，
∵在△HBD和△CAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠HBD=∠CAD}\\{∠HDB=∠CDA}\\{BH=AC}\end{array}\right.$，
∴△HBD≌△CAD（AAS），
∴AD=BD，
∴∠DAB=∠DBA，
∵∠ADB=90°，
∴∠ABD=45°，
即∠ABC=45°；
②如图2，

∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠ADC=∠HDB=∠AEH=90°，
∴∠H+∠HAE=∠C+∠HAE=90°，
∴∠H=∠C，
∵在△HBD和△CAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠HDB=∠ADC}\\{∠H=∠C}\\{BH=AC}\end{array}\right.$，
∴△HBD≌△CAD（AAS），
∴AD=BD，
∴∠DAB=∠DBA，
∵∠ADB=90°，
∴∠ABD=45°，
∴∠ABC=180°-45°=135°；
故答案为45°或135°．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，垂直定义，三角形的内角和定理等知识点的应用，用了分类讨论思想．