Question

4．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠ABC=∠ADC=90°，P为对角线AC上任一点，求证：PB=PD．

Answer 1

分析 易证△ABC和△ADC均为直角三角形，即可证明RT△ABC≌RT△ADC，可得∠BAC=∠DAC，即可证明△BAP≌△DAP，可得PB=PD，即可解题．

解答 证明：∵∠ABC=∠ADC=90°，
∴△ABC和△ADC均为直角三角形，
在RT△ABC和RT△ADC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{AC=AC}\end{array}\right.$，
∴RT△ABC≌RT△ADC（HL），
∴∠BAC=∠DAC，
在△BAP和△DAP中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠BAC=∠DAC}\\{AP=AP}\end{array}\right.$，
∴△BAP≌△DAP（SAS），
∴PB=PD．

点评 本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应角相等的性质，本题中求证RT△ABC≌RT△ADC和△BAP≌△DAP是解题的关键．