Question

7．如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG．
（1）求证：四边形EFDG是菱形；
（2）若AG=7、GF=3，求DF的长．

Answer 1

分析 （1）连接DE交AF于H，先根据DF=EG，DF∥EG，判定四边形DFEG是平行四边形，再根据GF⊥DE，即可得出四边形EFDG是菱形；
（2）根据条件得到FH=$\frac{1}{2}$GF=$\frac{3}{2}$，AF=10，再根据Rt△ADF中，DH⊥AF，运用射影定理即可得到DF²=FH×FA，进而得出DF的长．

解答 解：（1）如图，连接DE交AF于H，
由折叠可得，AF⊥DE，DF=EF，∠DFG=∠EFG，
∵EG∥CD，
∴∠DFG=∠EGF，
∴∠EFG=∠EGF，
∴EG=EF，
∴DF=EG，
∵DF∥EG，
∴四边形DFEG是平行四边形，
∵GF⊥DE，
∴四边形EFDG是菱形；

（2）∵四边形EFDG是菱形，
∴FH=$\frac{1}{2}$GF=$\frac{3}{2}$，
∵AG=7，GF=3，
∴AF=10，
∵Rt△ADF中，DH⊥AF，
∴DF²=FH×FA，
即DF=$\sqrt{\frac{3}{2}×10}$=$\sqrt{15}$．

点评 本题主要考查了折叠问题，菱形的判定和性质以及射影定理的应用，利用射影定理得出DF²=FH×FA是解题答问题（2）的关键．折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，对应边和对应角相等．