题目内容
11．
取一张正方形的纸片进行折叠，具体操作过程如下：第一步：如图1，先把正方形ABCD对折，折痕为MN．
第二步：点G在线段 MD上，将△GCD沿GC翻折，点D恰好落在MN上，记为点P，连接BP．
（1）判断△PBC的形状，并说明理由；
（2）作点C关于直线AP的对称点C′，连接PC′、DC′．
①在图2中补全图形，并求出∠APC′的度数；
②猜想∠PC′D的度数，并加以证明；（温馨提示：当你遇到困难时，不妨连接AC′、CC′，研究图形中特殊的三角形）
分析 （1）由正方形的性质得出AB=BC=CD，∠ABC=90°，由折叠的性质得：BN=NC=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$PC，MN⊥BC，得出PB=PC，∠PNC=90°，在Rt△PNC中，由三角函数得出sin∠NPC=$\frac{NC}{PC}$=$\frac{1}{2}$，求出∠NPC=30°，得出∠PCB=60°，即可得出结论；
（2）①根据题意补全图形，由①得：∠PCB=∠PBC=∠BPC=60°，PB=PC=BC，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得出∠BAP=∠BPA=75°，求出∠APC=∠BPA+∠BPC=135°，再由得出的性质得出∠APC'=∠APC=135°；
②由对称的性质得：AC=AC'，∠CAP=∠C'AP=30°，证出△CAC'是等边三角形，得出AC'=CC'，∠AC'C=60°，由SSS证明△AC'D≌△CC'D，得出∠AC'D=∠CC'D=$\frac{1}{2}$∠AC'C=30°，由∠AC'P=∠ACP=15°，即可得出∠PC'D=15°．
解答 解：（1）△PBC是等边三角形，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD，∠ABC=90°，
由折叠的性质得：BN=NC=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$PC，MN⊥BC，
∴PB=PC，∠PNC=90°，
在Rt△PNC中，sin∠NPC=$\frac{NC}{PC}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠NPC=30°，
∴∠PCB=60°，
∴△PBC是等边三角形；
（2）①补全图形如图2所示：
由①得：∠PCB=∠PBC=∠BPC=60°，PB=PC=BC，
∵∠ABC=90°，
∴∠ABP=90°-60°=30°，
∵AB=BC，
∴AB=PB，
∴∠BAP=∠BPA=$\frac{1}{2}$（180°-30°）=75°，
∴∠APC=∠BPA+∠BPC=75°+60°=135°，
∵C关于直线AP的对称点为C′，
∴∠APC'=∠APC=135°；
②连接AC'，CC'，如图3所示：
由对称的性质得：AC=AC'，∠CAP=∠C'AP=30°，
∴∠CAC'=60°，
∴△CAC'是等边三角形，
∴AC'=CC'，∠AC'C=60°，
在△AC'D和△CC'D中，$\left\{\begin{array}{l}{AC'=CC'}&{\;}\\{AD=CD}&{\;}\\{C'D=C'D}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AC'D≌△CC'D（SSS），
∴∠AC'D=∠CC'D=$\frac{1}{2}$∠AC'C=30°，
∵∠AC'P=∠ACP=15°，
∴∠PC'D=15°．
点评 本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角函数、折叠的性质、对称的性质、全等三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度．
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