Question

14．如图，已知点A（1，2）是反比例函数y=$\frac{k}{x}$图象上的一点，连接AO并延长交双曲线的另一分支于点B，点P是x轴上一动点；若△PAB是等腰三角形，则点P的坐标是（-3，0）或（5，0）或（3，0）或（-5，0）．

Answer 1

分析 由对称性可知O为AB的中点，则当△PAB为等腰三角形时只能有PA=AB或PB=AB，设P点坐标为（x，0），可分别表示出PA和PB，从而可得到关与x的方程，可求得x，可求得P点坐标．

解答 解：
∵反比例函数y=$\frac{k}{x}$图象关于原点对称，
∴A、B两点关于O对称，
∴O为AB的中点，且B（-1，-2），
∴当△PAB为等腰三角形时有PA=AB或PB=AB，
设P点坐标为（x，0），
∵A（1，2），B（-1，-2），
∴AB=$\sqrt{[1-（-1）]^{2}+[2-（-2）]^{2}}$=2$\sqrt{5}$，PA=$\sqrt{（x-1）^{2}+{2}^{2}}$，PB=$\sqrt{（x+1）^{2}+（-2）^{2}}$，
当PA=AB时，则有$\sqrt{（x-1）^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，解得x=-3或5，此时P点坐标为（-3，0）或（5，0）；
当PB=AB时，则有$\sqrt{（x+1）^{2}+（-2）^{2}}$=2$\sqrt{5}$，解得x=3或-5，此时P点坐标为（3，0）或（-5，0）；
综上可知P点的坐标为（-3，0）或（5，0）或（3，0）或（-5，0），
故答案为：（-3，0）或（5，0）或（3，0）或（-5，0）．

点评 本题主要考查等腰三角形的性质和反比例函数的对称性，判断出只有PA=AB或PB=AB两种情况是解题的关键，注意方程思想的应用．